2011-湖北卷理-13 填-数列综合

本题导读

本题考查等差数列通项公式，以及等差数列前 项和公式。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(理)） 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为$\underline{}$升.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 9 节竹子自上而下构成的等差数列为 $\{a_n\}$（$n=1,2,\dots ,9$），公差为 $d$。
2. 根据“上面 4 节共 3 升”得 $a_1+a_2+a_3+a_4=3$。
3. 根据“下面 3 节共 4 升”得 $a_7+a_8+a_9=4$。
4. 联立关于首项 $a_1$ 和公差 $d$ 的二元一次方程组，解得基本量后计算 $a_5$。

✅【答案】

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$\frac{67}{66}$

✍【详细解析】

Abstract

设自上而下各节容积构成等差数列 $\{a_n\}$，公差为 $d$。 由题意可知： ① $a_1+a_2+a_3+a_4=4a_1+6d=3$； ② $a_7+a_8+a_9=3a_8=3(a_1+7d)=4⟹a_1+7d=\frac{4}{3}$。

由 ② 得 $a_1=\frac{4}{3}-7d$，代入 ① 得： $4\left(\frac{4}{3}-7d\right)+6d=3⟹\frac{16}{3}-22d=3⟹22d=\frac{7}{3}⟹d=\frac{7}{66}$。 代入求得首项： $a_1=\frac{4}{3}-7\times \frac{7}{66}=\frac{88-49}{66}=\frac{39}{66}=\frac{13}{22}$。

所求第 5 节的容积为： $a_5=a_1+4d=\frac{39}{66}+4\times \frac{7}{66}=\frac{39+28}{66}=\frac{67}{66}$。

故填：$\frac{67}{66}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等差数列通项与前 $n$ 项和公式、基本量运算。
• 核心方法：等差中项性质简化方程：$a_7+a_8+a_9=3a_8$。
• 避坑指南：题目分数的通分运算较繁，需保持草稿规范，防止算术失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自中国古代数学名著《九章算术》卷第六“均输”章第 16 题。
• 结论推广：若等差数列共 $n$ 节，已知前 $p$ 项和与后 $q$ 项和，均可利用线性方程组唯一解出通项公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-18 解-数列分组求和
• 2008-北京卷文-07 单-等差数列偶数项子列
• 2008-天津卷文-04 单-等差数列基本量