2011-湖南卷文-14 填-线性规划含参

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，以及线性规划含参数。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(文)） 设 $m>1$，在约束条件 $\{\begin{array}{l}y⩾x,\\ y⩽mx,\\ x+y⩽1\end{array}$ 下，目标函数 $z=x+5y$ 的最大值为 $4$，则 $m$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：列可行域顶点
2. 步骤2：目标函数最大值只能在两个非原点顶点之一取得
3. 步骤3：列方程解 $m$

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

$m>1$ 时可行域是以 $O(0,0)$、$A\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$（$y=x$ 与 $x+y=1$ 的交点）、$B\left(\frac{1}{m+1},\frac{m}{m+1}\right)$（$y=mx$ 与 $x+y=1$ 的交点）为顶点的三角形。

$z=x+5y$ 在顶点处的值：$O$ 处为 $0$；$A$ 处为 $\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=3$；$B$ 处为 $\frac{1+5m}{m+1}$。

因最大值为 $4>3$，最大值必在 $B$ 处取得：$\frac{1+5m}{m+1}=4$，即 $1+5m=4m+4$，解得 $m=3$。

验：$m=3>1$，$B\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right)$，$z=\frac{1}{4}+\frac{15}{4}=4$，成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：可行域顶点法；目标函数最值与参数方程

核心方法：含参线性规划：顶点用 $m$ 表示，令顶点值等于最值反解参数，再回头验 $m$ 的范围

避坑指南：最大值 $4$ 大于 $A$ 处的 $3$，故在 $B$ 处取得——若误令 $A$ 处取最值会得矛盾；解出 $m$ 后必须回代检验 $m>1$ 及顶点坐标非负，这既验算又防止多解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划含参题与 2012-浙江卷文-14、2012-山东卷文-06、2011-浙江卷文-03 同族。

结论推广：推广：目标函数 $z=x+5y$ 中 $y$ 的系数大，最值偏向”$y$ 大”的顶点 $B$；一般地 $z=ax+by$（$b>a>0$）在三角形 $OAB$ 上的最值位置由 $\frac{b}{a}$ 与边界斜率的大小关系决定。

方法推广：含参线性规划：顶点坐标含参也照常列表算 $z$，比较后令最值成立反解参数，最后回代参数范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-14 填-线性规划取值范围
• 2012-山东卷文-06 单-线性规划取值范围
• 2011-浙江卷文-03 单-线性规划最值