2011-湖南卷文-15 填-圆与直线几何概型

本题导读

本题考查点到直线的距离，以及圆的参数的几何意义。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(文)） 已知圆 $C:x^2+y^2=12$，直线 $l:4x+3y=25$.

(1) 圆 $C$ 的圆心到直线 $l$ 的距离为$\underline{}$；

(2) 圆 $C$ 上任意一点 $A$ 到直线 $l$ 的距离小于 $2$ 的概率为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) 套距离公式
2. 步骤2：(2) 把”距离小于 $2$“化为圆心角范围
3. 步骤3：用弧长比例求概率

✅【答案】

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(1) $5$

(2) $\frac{1}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 圆心 $(0,0)$ 到直线 $4x+3y-25=0$ 的距离 $d=\frac{|4\times 0+3\times 0-25|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{25}{5}=5$。

(2) 圆半径 $r=2\sqrt{3}$，圆心到直线距离 $5$。设 $OA$（$O$ 为圆心）与”圆心指向直线的垂线方向”的夹角为 $\phi$，则点 $A$ 到直线的距离为 $5-2\sqrt{3}\cos \phi$。

距离小于 $2$ 即 $5-2\sqrt{3}\cos \phi <2$，$\cos \phi >\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故 $-\frac{\pi }{6}<\phi <\frac{\pi }{6}$。

由几何概型（$A$ 在圆上均匀分布，角度等可能），所求概率 $=\frac{\frac{\pi }{3}}{2\pi }=\frac{1}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点到直线的距离公式；圆上点的位置与圆心角；几何概型的角度测度

核心方法：把”点到直线的距离”沿半径分解为 $d-r\cos \phi$，距离不等式转成圆心角范围

避坑指南：点 $A$ 到直线的距离是”圆心距减去半径投影”：$5-2\sqrt{3}\cos \phi$，写成 $5+r\cos \phi$ 会得到另一段弧而算错概率；几何概型的测度选”角度”（弧长比例），不是面积也不是长度——圆上取点，角度均匀才等可能。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：几何概型题与 2013-湖南卷文-09、2011-福建卷文-07、2013-湖北卷文-15 同族。

结论推广：推广：半径 $r$、圆心距 $d$（$d>r$）的圆上点到直线距离小于 $a$（$d-r<a<d+r$）的概率为 $\frac{2\arccos \frac{d-a}{r}}{2\pi }$；本题 $d-a=3$，$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}$。

方法推广：圆上点的几何概型：先算圆心距，再用投影式 $d\pm r\cos \phi$ 化不等式为角度范围，概率即角度比。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷文-09 单-几何概型概率
• 2011-福建卷文-07 单-几何概型面积
• 2013-湖北卷文-15 填-几何概型长度