2011-湖南卷理-08 单-分段函数

本题导读

本题考查函数图象的交点与距离，以及利用导数求函数的最值。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(理)） 设直线 $x=t$ 与函数 $f(x)=x^2$，$g(x)=\ln x$ 的图象分别交于点 $M,N$，则当 $|MN|$ 达到最小时 $t$ 的值为 ()

A. 1　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出交点坐标：$M(t,t^2)$，$N(t,\ln t)$，定义域要求 $t>0$。
2. 线段长度为 $|MN|=|t^2-\ln t|$。
3. 分析差函数 $h(t)=t^2-\ln t$ 在 $(0,+\infty )$ 上的正负与极值：利用导数求极值点，验证其最小值是否大于 0，从而脱去绝对值符号并求出极值点 $t$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

直线 $x=t$ 需与 $g(x)=\ln x$ 相交，故要求 $t>0$。 交点坐标分别为 $M(t,t^2)$，$N(t,\ln t)$。 两点间距离为 $|MN|=|t^2-\ln t|$。

构造函数 $h(t)=t^2-\ln t$ ($t>0$)。 求导得： $h^{\prime }(t)=2t-\frac{1}{t}=\frac{2t^2-1}{t}$。

令 $h^{\prime }(t)=0$，因为 $t>0$，解得 $t=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

• 当 $0<t<\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$h^{\prime }(t)<0$，$h(t)$ 单调递减；
• 当 $t>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$h^{\prime }(t)>0$，$h(t)$ 单调递增。

因此，当 $t=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$h(t)$ 取得极小值，也是唯一的最小值： $h\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2-\ln \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{1}{2}-\ln 2^{-1/2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln 2>0$。 因为最小值大于 0，所以对于任意 $t>0$ 恒有 $h(t)>0$，即 $|MN|=t^2-\ln t$。 因此，当且仅当 $t=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$|MN|$ 达到最小值。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：两曲线上同横坐标点间距、函数最值的导数判定。
• 核心方法：构造关于 $t$ 的一元差函数，求导令 $h^{\prime }(t)=0$ 寻找驻点。
• 避坑指南：必须注意由于有绝对值符号，需确认极小值是否大于 0；若存在零点（图象有交点），则最小值应为 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自几何距离优化中的平行轴向截距极值模型。
• 结论推广：两条无交点单调曲线 $y=f_1(x)$ 与 $y=f_2(x)$ 在铅垂线 $x=t$ 上的距离极值点满足 $f_1^{\prime }(t)=f_2^{\prime }(t)$，即两曲线切线平行的位置。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2004-浙江理-20 解-导数的几何意义
• 2007-北京卷理-19 解-利用导数求函数最值
• 2007-四川卷理-16 填-三角函数单调性