2011-湖南卷理-18 解-统计推断

本题导读

本题考查频率估计概率。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(理)）

某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据：

| 日销售量（件） | 0 | 1 | 2 | 3 |

| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |

| 频数 | 1 | 5 | 9 | 5 |

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率.

(1) 求当天商品不进货的概率；

(2) 记 $X$ 为第二天开始营业时该商品的件数，求 $X$ 的分布列和数学期望.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据频数表计算日销售量分别为 0, 1, 2, 3 件的频率，作为日销售量的对应概率。

2. 第 (1) 问：当天营业开始有 3 件商品，若不进货，则营业结束后存货不少于 2 件，即存货为 2 件或 3 件，对应当天销售量为 1 件或 0 件。

3. 第 (2) 问：分析第二天开始营业时的商品件数 $X$ 的所有可能取值。若进货，则补充至 3 件（$X=3$）；若不进货，则存货保持为当天营业结束时的 2 件或 3 件（即 $X=2$ 或 $X=3$）。综合得到 $X$ 只能取 2 或 3，求出对应的概率，列出分布列并计算期望。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

根据题意，将频率视为概率，记日销售量为 $\xi$，则 $\xi$ 的概率分布为：

$P(\xi =0)=\frac{1}{20}=0.05$；

$P(\xi =1)=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=0.25$；

$P(\xi =2)=\frac{9}{20}=0.45$；

$P(\xi =3)=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=0.25$。

(1)

设“当天商品不进货”为事件 $A$。

某天开始营业时有该商品 3 件，若当天不进货，则当天营业结束后存货不少于 2 件，

即存货为 2 件或 3 件，对应当天日销售量 $\xi =1$ 或 $\xi =0$。

所以当天商品不进货的概率为：

$P(A)=P(\xi =0)+P(\xi =1)=\frac{1}{20}+\frac{5}{20}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}=0.3$。

(2)

由题意，第二天开始营业时该商品的件数 $X$ 的所有可能取值为 2，3。

• 当 $X=2$ 时，说明当天营业结束存货为 2 件且不进货，此时当天销售量为 1 件：

$P(X=2)=P(\xi =1)=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$。

• 当 $X=3$ 时，包含两种情况：

① 当天销售量为 0 件，存货为 3 件，不进货，第二天仍为 3 件；

② 当天销售量为 2 件或 3 件，存货分别为 1 件或 0 件（均少于 2 件），需进货补充至 3 件，第二天为 3 件。

所以：

$P(X=3)=P(\xi =0)+P(\xi =2)+P(\xi =3)=\frac{1}{20}+\frac{9}{20}+\frac{5}{20}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$。

（或利用对立事件：$P(X=3)=1-P(X=2)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$）

故 $X$ 的分布列为：

| $X$ | 2 | 3 |

| :---: | :---: | :---: |

| $P$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{3}{4}$ |

所以 $X$ 的数学期望为：

$E(X)=2\times \frac{1}{4}+3\times \frac{3}{4}=\frac{2+9}{4}=\frac{11}{4}=2.75$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：随机变量的取值确定、互斥事件概率加法、数学期望计算公式。

• 核心方法：理清业务规则对应的销售量范围，建立从实际问题到随机变量取值的准确映射。

• 避坑指南：容易错误地认为 $X$ 可以取 0 或 1，忽视题干明确说明“存货少于 2 件时补充至 3 件”，因此第二天开业时存货绝不可能为 0 或 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自运筹学与供应链管理中的 $(s,S)$ 型随机库存控制策略（即当库存低于再订货点 $s$ 时，补充进货至最大库存水平 $S$）。

• 结论推广：对于周期性盘点的 $(s,S)$ 库存模型，次日初库存 $X$ 构成一个有限状态马尔可夫链的离散状态，在单周期下其期望值为 $s$ 到 $S$ 之间的凸组合。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列

• 2005-天津卷理-15 填-离散型随机变量的分布列

• 2013-湖北卷理-09 单-数学期望