2011-福建卷文-07 单-几何概型面积

本题导读

本题考查几何概型，以及面积比。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(文)） 如图，矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 为边 $CD$ 的中点，若在矩形 $ABCD$ 内部随机取一个点 $Q$，则点 $Q$ 取自 $△ABE$ 内部的概率等于 ()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $\frac{1}{3}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$P=\frac{S_{△ABE}}{S_{\text{矩形}ABCD}}$
2. 步骤2：面积比化线段比

✅【答案】

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C$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $AB=a$，$BC=b$。

矩形面积 $S=ab$；$△ABE$ 中，底 $AB=a$，$E$ 到 $AB$ 的距离即 $BC=b$，故 $S_{△ABE}=\frac{1}{2}ab$。

由几何概型，$P=\frac{S_{△ABE}}{S}=\frac{\frac{1}{2}ab}{ab}=\frac{1}{2}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：几何概型（面积型）；三角形与矩形面积

核心方法：测度比为面积比：分子分母同含 $AB$，约分后只剩线段比 $\frac{BE}{2BC}\cdot 2$ 化简

避坑指南：$E$ 是 $CD$ 中点不影响结果——三角形的高由顶点 $E$ 到 $AB$ 的距离决定，恒为 $BC$；别因”中点”误把三角形当矩形一半的再一半（A 误）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：面积型几何概型题与 2012-北京卷文-03、2013-福建卷文-14、2014-福建卷文-13 同族。

结论推广：推广：矩形内取点落在以一边为底、对边上任一点为顶点的三角形内的概率恒为 $\frac{1}{2}$，与顶点位置无关。

方法推广：几何概型：先定测度（长度 / 面积 / 体积），再算 favorable 区域与总区域的比；能约分的先约分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-03 单-几何概型面积
• 2013-福建卷文-14 填-几何概型随机数
• 2014-福建卷文-13 填-几何概型