2011-福建卷文-11 单-圆锥曲线离心率

本题导读

本题考查圆锥曲线的统一定义，以及离心率。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(文)） 设圆锥曲线 $\Gamma$ 的两个焦点分别为 $F_1$，$F_2$.若曲线 $\Gamma$ 上存在点 $P$ 满足 $|P{F}_1|:|F_1{F}_2|:|P{F}_2|=4:3:2$，则曲线 $\Gamma$ 的离心率等于 ()

A. $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$　　　B. $\frac{2}{3}$ 或 $2$　　　C. $\frac{1}{2}$ 或 $2$　　　D. $\frac{2}{3}$ 或 $\frac{3}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：设 $|P{F}_1|=4k$
2. 步骤2：$|F_1{F}_2|=3k$
3. 步骤3：$|P{F}_2|=2k$
4. 步骤4：按椭圆、双曲线分别用定义求 $e$

✅【答案】

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A$\frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $|P{F}_1|=4k$，$|F_1{F}_2|=3k$，$|P{F}_2|=2k$（$k>0$），则 $2c=|F_1{F}_2|=3k$。

若 $\Gamma$ 为椭圆：$|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a=6k$，$a=3k$，$e=\frac{c}{a}=\frac{3k/2}{3k}=\frac{1}{2}$。

若 $\Gamma$ 为双曲线：$|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a=2k$，$a=k$，$e=\frac{c}{a}=\frac{3k/2}{k}=\frac{3}{2}$。

（抛物线只有一个焦点，不符。）故离心率为 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆与双曲线的第一定义；离心率

核心方法：焦半径与焦距设参成比例，两类曲线分别用定义算 $a$ 与 $c$

避坑指南：两类曲线都可能是 $\Gamma$：椭圆用”距离之和”，双曲线用”距离之差”；焦点三角形的边比 $4:3:2$ 满足三角形不等式（$4<3+2$），点 $P$ 确实存在；别漏掉双曲线情形而只算出 $\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线定义与离心率题与 2012-福建卷文-05、2012-浙江卷文-08、2013-福建卷文-15 同族。

结论推广：推广：焦半径与焦距成比例时统一设参 $k$：椭圆 $2a=|P{F}_1|+|P{F}_2|$，双曲线 $2a=||P{F}_1|-|P{F}_2||$，离心率 $e=\frac{c}{a}$ 随曲线类型而异；同一组焦半径比例可同时对应椭圆与双曲线两个离心率。

方法推广：圆锥曲线定义题：只给焦半径与焦距比例时，设参 $k$，椭圆走”和”、双曲线走”差”，两条路都走一遍。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.06 离心率专题
• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2012-福建卷文-05 单-双曲线离心率
• 2012-浙江卷文-08 单-双曲线椭圆离心率
• 2013-福建卷文-15 填-椭圆离心率