2012-福建卷文-05 单-双曲线离心率

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及离心率。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{5}=1$ 的右焦点为 $(3,0)$，则该双曲线的离心率等于()

A. $\frac{3\sqrt{14}}{14}$　　　　　　B. $\frac{3\sqrt{2}}{4}$　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　D. $\frac{4}{3}$

🔍【思路分析】

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$c=3$，$c^2=a^2+5$ 得 $a^2=4$，$e=\frac{3}{2}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

右焦点为 $(3,0)$，故半焦距 $c=3$。

由双曲线标准方程知 $b^2=5$，且 $c^2=a^2+b^2$，故 $a^2=9-5=4$，$a=2$。

离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{3}{2}$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线标准方程中 $a$、$b$、$c$ 的关系；离心率公式

核心方法：由焦点坐标读 $c$，由方程读 $b^2$，用 $c^2=a^2+b^2$ 求 $a$

避坑指南：双曲线中 $c^2=a^2+b^2$（与椭圆的 $a^2=b^2+c^2$ 相反），别代错；焦点在 $x$ 轴上时 $b^2=5$ 对应 $y^2$ 项的分母。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线离心率基础题，与 2014 年新课标Ⅰ文第 4 题、2013 年北京卷文第 7 题同族。

结论推广：$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}>1$。

方法推广：圆锥曲线小题的通用入口：焦点坐标 $\to$ $c$，方程 $\to$ $a^2$（或 $b^2$），再套关系式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-04 单-双曲线离心率
• 2013-北京卷文-07 单-双曲线离心率充要
• 2013-重庆卷文-10 单-双曲线离心率范围