2011-福建卷理-06 单-定积分

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(理)） $(1+2x{)}^5$ 的展开式中，$x^2$ 的系数等于 ()

A. 80　　　　　　　B. 40　　　　　　　C. 20　　　　　　　D. 10

🔍【思路分析】

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1. 写出二项展开式的通项公式 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_5^r(2x{)}^r$。
2. 令 $r=2$ 得到含 $x^2$ 的项，计算其数值系数。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$(1+2x{)}^5$ 展开式的通项为： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_5^r{1}^{5-r}(2x{)}^r={\mathrm{C}}_5^r{2}^r{x}^r$。 令 $r=2$，得 $x^2$ 的系数为： ${\mathrm{C}}_5^2\times 2^2=10\times 4=40$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项展开式的通项公式 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
• 核心方法：指数匹配法。
• 避坑指南：系数中的底数 $2$ 需要同步平方，切勿漏算 $2^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于教材二项式定理基础例题。
• 结论推广：$(a+bx{)}^n$ 展开式中 $x^k$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$。

🔗【关联脉络】

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