2011-福建卷理-21B 解-极坐标

本题导读

本题考查极坐标与直角坐标互化。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(理)） 【B】在直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l$ 的方程为 $x-y+4=0$，曲线 $C$ 的参数方程为

$$\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\cos \alpha \\ y=\sin \alpha \end{array}(\alpha \text{ 为参数}).$$

(1) 已知在极坐标（与直角坐标系 $xOy$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴）中，点 $P$ 的极坐标为 $\left(4,\frac{\pi }{2}\right)$，判断点 $P$ 与直线 $l$ 的位置关系；

(2) 设点 $Q$ 是曲线 $C$ 上的一个动点，求它到直线 $l$ 的距离的最小值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：利用直角坐标与极坐标互化公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$，求出点 $P$ 的直角坐标，将其代入直线 $l$ 的方程验证是否在直线上。
2. 第二问：设曲线 $C$ 上动点 $Q(\sqrt{3}\cos \alpha ,\sin \alpha )$，代入点到直线的距离公式 $d$，将分子利用辅助角公式化为形如 $A\sin (\alpha +\phi )+B$ 的形式，求出最小距离。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 设点 $P$ 的直角坐标为 $(x_P,y_P)$。 由极坐标与直角坐标的互化公式：

$$\{\begin{array}{l}{x}_P=\rho \cos \theta \\ y_P=\rho \sin \theta \end{array}$$

已知点 $P$ 的极坐标为 $\left(4,\frac{\pi }{2}\right)$，所以：

$$x_P=4\cos \frac{\pi }{2}=0,y_P=4\sin \frac{\pi }{2}=4.$$

即点 $P$ 的直角坐标为 $(0,4)$。 将点 $P(0,4)$ 的坐标代入直线 $l$ 的方程 $x-y+4=0$ 中：

$$0-4+4=0,$$

等式成立。 所以，点 $P$ 在直线 $l$ 上。

(2) 解： 因为点 $Q$ 是曲线 $C$ 上的动点，所以可设点 $Q$ 的坐标为 $(\sqrt{3}\cos \alpha ,\sin \alpha )$，其中 $\alpha \in \mathbf{R}$。 点 $Q$ 到直线 $l:x-y+4=0$ 的距离为：

$$d=\frac{|\sqrt{3}\cos \alpha -\sin \alpha +4|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|\sqrt{3}\cos \alpha -\sin \alpha +4|}{\sqrt{2}}.$$

利用辅助角公式化简分子：

$$\sqrt{3}\cos \alpha -\sin \alpha =2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha -\frac{1}{2}\sin \alpha \right)=2\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right).$$

因为 $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)\in [-1,1]$，所以：

$$-2⩽2\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)⩽2.$$

故：

$$2⩽2\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)+4⩽6.$$

分子恒为正数，绝对值符号可直接去掉，即：

$$d=\frac{2\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)+4}{\sqrt{2}}.$$

当 $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)=-1$ 时，$d$ 取得最小值：

$$d_{\min }=\frac{-2+4}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.$$

所以，点 $Q$ 到直线 $l$ 的距离的最小值为 $\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：极坐标与直角坐标互化定理、参数方程设点求极值、辅助角公式、点到直线的距离公式。
• 核心方法：三角代换法（利用参数方程将距离转化为关于单角 $\alpha$ 的三角函数最值问题）。
• 避坑指南：
• 极坐标格式为 $(\rho ,\theta )$，注意角度单位与弧度制；
• 点到直线的距离分母为 $\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$，切勿遗漏分母根号。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：经典的参数方程在最值问题中的应用模型。通过椭圆参数方程将二元有界约束直接降为一元无约束三角函数极值问题。
• 结论推广：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上的点到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离极值点，对应切线斜率与该直线平行的切点，其极值距离公式为 $d=\frac{|C\pm \sqrt{a^2{A}^2+b^2{B}^2}|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-05 单-抛物线焦点距离
• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直
• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行