2011-辽宁卷文-18 解-四棱锥垂直与体积比

本题导读

本题考查线面垂直与线线垂直，以及直角梯形中的勾股逆定理。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(文)） 如图，四边形 $ABCD$ 为正方形，$QA\perp$ 平面 $ABCD$，$PD\parallel QA$，$QA=AB=\frac{1}{2}PD$.

(1)证明：$PQ\perp$ 平面 $DCQ$；

(2)求棱锥 $Q-ABCD$ 的体积与棱锥 $P-DCQ$ 的体积比值.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：（1）证 $DC\perp$ 平面 $AQPD$ 得 $DC\perp PQ$
2. 步骤2：再在直角梯形内用勾股逆定理证 $PQ\perp DQ$
3. 步骤3：（2）换底求两个体积

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 比值为 $1$

✍【详细解析】

Abstract

不妨设 $AB=1$，则 $QA=1$，$PD=2$。

（1）$QA\perp$ 平面 $ABCD$，$PD\parallel QA$，故 $PD\perp$ 平面 $ABCD$，从而 $PD\perp AD$，$PD\perp DC$；又 $AD\perp DC$。

在平面 $AQPD$ 内：$AQ\parallel DP$，$AQ\perp AD$，故 $AQPD$ 是直角梯形，$AD$ 为高，$AQ=1$，$DP=2$。

计算三边：$P{Q}^2=A{D}^2+(DP-AQ{)}^2=1+1=2$；$D{Q}^2=A{D}^2+A{Q}^2=1+1=2$；$D{P}^2=4$。

因 $P{Q}^2+D{Q}^2=2+2=4=D{P}^2$，由勾股定理的逆定理，$\angle PQD=90^{\circ }$，即 $PQ\perp DQ$。

又 $DC\perp AD$，$DC\perp PD$（$PD\perp$ 平面 $ABCD$），故 $DC\perp$ 平面 $AQPD$，而 $PQ\subset$ 平面 $AQPD$，所以 $DC\perp PQ$。

$PQ$ 垂直于平面 $DCQ$ 内两条相交直线 $DQ$，$DC$，故 $PQ\perp$ 平面 $DCQ$。

（2）$V_{Q-ABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot QA=\frac{1}{3}\times 1\times 1=\frac{1}{3}$。

求 $V_{P-DCQ}$：换底，视 $DC$ 为高方向的棱——由（1）$DC\perp$ 平面 $AQPD$（$DC$ 垂直于该平面内两条相交直线），故

$V_{P-DCQ}=V_{C-DQP}=\frac{1}{3}\cdot DC\cdot S_{△DQP}$。

$△DQP$ 中 $\angle PQD=90^{\circ }$，$S_{△DQP}=\frac{1}{2}\cdot DQ\cdot PQ=\frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}=1$。

故 $V_{P-DCQ}=\frac{1}{3}\times 1\times 1=\frac{1}{3}$。

所求比值为 $1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的判定与性质；勾股定理的逆定理；等体积法（换底）求棱锥体积

核心方法：把 $AQPD$ 认出是直角梯形，在平面内用勾股逆定理得 $PQ\perp DQ$，配合 $DC\perp$ 平面 $AQPD$ 完成双垂直；体积用换底把陌生底面换成会算的三角形

避坑指南：$PD\parallel QA$ 且 $QA\perp$ 底面 $\Rightarrow PD\perp$ 底面，这一步是”平行传递垂直”，别漏写；$P{Q}^2$ 用的是梯形"$DP-AQ$"之差（$2-1=1$）而不是 $DP$ 本身；$V_{P-DCQ}$ 的底面 $△DCQ$ 不方便直接算，换底成 $C-DQP$（以 $DC$ 为高）后 $△DQP$ 是直角三角形，这是本题体积的命门。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四棱锥垂直与体积题与 2011-新课标卷文-18、2011-陕西卷文-16 同族。

结论推广：推广：平面内”算三边验勾股”是证线线垂直的代数化手段，适用于可量化（长度已知或可设）的图形；棱锥体积换底公式 $V_{A-BCD}=V_{C-ABD}$ 的本质是等体积法，选”高好算、底面面积好算”的一侧。

方法推广：立体几何证明题：垂直链”线线 $\to$ 线面 $\to$ 线线”循环推进，平面图形（梯形、三角形）内部先解三角形；体积题先想换底。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-18 解-四棱锥垂直与求高
• 2011-陕西卷文-16 解-折叠三棱锥垂直表面积