2011-辽宁卷文-19 解-古典概型与统计决策

本题导读

本题考查古典概型，以及样本平均数。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(文)） 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验，选取两大块地，每大块地分成 $n$ 小块地.在总共 $2n$ 小块地中，随机选 $n$ 小块地种植品种甲，另外 $n$ 小块地种植品种乙.

(1)假设 $n=2$，求第一大块地都种植品种甲的概率；

(2)试验时每大块地分成 $8$ 小块，即 $n=8$，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm${}^2$）如下表：

品种甲	$403$	$397$	$390$	$404$	$388$	$400$	$412$	$406$
品种乙	$419$	$403$	$412$	$418$	$408$	$423$	$400$	$413$

分别求品种甲和品种乙每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你应该种植哪一品种？

附：样本数据 $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$ 的样本方差 $s^2=\frac{1}{n}\left[(x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+\cdots +(x_n-\bar{x}{)}^2\right]$，其中 $\bar{x}$ 为样本平均数.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：（1）组合数计数
2. 步骤2：（2）按定义算 $\bar{x}$ 与 $s^2$
3. 步骤3：从”平均数高且方差小”两个维度决策

✅【答案】

点击查看答案

(1) $\frac{1}{6}$

(2) 品种甲平均数 $400$、方差 $57.25$；品种乙平均数 $412$、方差 $56$；应种植品种乙

✍【详细解析】

Abstract

（1）$n=2$ 时共 $4$ 小块地，从中随机选 $2$ 块种品种甲，有 ${\mathrm{C}}_4^2=6$ 种等可能选法。

“第一大块地（$2$ 小块）都种品种甲”意味着这 $2$ 小块全被选中，只有 $1$ 种选法。

故所求概率 $P=\frac{1}{6}$。

（2）品种甲：${\bar{x}}_{甲}=\frac{403+397+390+404+388+400+412+406}{8}=\frac{3200}{8}=400$。

各数据与 $400$ 的差：$3,-3,-10,4,-12,0,12,6$，平方和 $=9+9+100+16+144+0+144+36=458$，$s_{甲}^2=\frac{458}{8}=57.25$。

品种乙：${\bar{x}}_{乙}=\frac{419+403+412+418+408+423+400+413}{8}=\frac{3296}{8}=412$。

各数据与 $412$ 的差：$7,-9,0,6,-4,11,-12,1$，平方和 $=49+81+0+36+16+121+144+1=448$，$s_{乙}^2=\frac{448}{8}=56$。

品种乙的平均产量高于品种甲（$412>400$），且方差更小（$56<57.25$），产量更高更稳定，故应种植品种乙。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型的组合计数；样本平均数与样本方差的计算；平均数与方差联合决策

核心方法：（1）用 ${\mathrm{C}}_4^2$ 数总选法数出有利选法；（2）先平移数据（以 $400$、$412$ 为基准算偏差）减少计算量，决策看”均值高、方差小”双指标

避坑指南：（1）的总选法是 ${\mathrm{C}}_4^2=6$ 而不是 ${\mathrm{C}}_4^1$ 或排列数——“选 2 块种甲”不区分顺序；（2）方差公式分母是 $n=8$ 而非 $n-1$（题目附的定义即如此）；决策必须两个指标都提，只说”乙平均高”不比较稳定性会扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：统计决策大题与 2012-广东卷文-13、2013-辽宁卷理-16、2014-新课标I卷理-18 同族。

结论推广：推广：样本方差可在减去基准数后计算：$s^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$ 中先整体减常数不影响 $\bar{x}$ 的偏差结构；两品种比较时”$\bar{x}$ 高且 $s^2$ 小”者占优，若指标冲突（均值高但方差大）需结合题意权衡。

方法推广：统计大题：平均数用”凑整基准 + 偏差和”省力；方差逐项平方列表防漏；决策句要有完整的比较表述。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2012-广东卷文-13 填-平均数与方差
• 2013-辽宁卷理-16 填-平均数与方差
• 2014-新课标I卷理-18 解-平均数与方差的估计