2011-重庆卷文-08 单-正弦余弦定理定边

本题导读

本题考查正弦定理，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(文)） 若 $△ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 满足 $6\sin A=4\sin B=3\sin C$，则 $\cos B=$ ()

A. $\frac{\sqrt{15}}{4}$　　　　　　B. $\frac{3}{4}$　　　　　　C. $\frac{3\sqrt{15}}{16}$　　　　　　D. $\frac{11}{16}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：由正弦定理把角的比例化成边的比例 $a:b:c=2:3:4$
2. 步骤2：再用余弦定理求 $\cos B$

✅【答案】

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$\frac{11}{16}$。选 \textbf{D}

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$， 把 $6\sin A=4\sin B=3\sin C$ 化为 $6a=4b=3c$。 取 $6a=4b=3c=12$，得 $a=2$，$b=3$，$c=4$。 由余弦定理，$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{4+16-9}{2\times 2\times 4}=\frac{11}{16}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理实现「角的比例」与「边的比例」互化；余弦定理求角。

核心方法：连比设参（设 $6a=4b=3c=12k$）→ 定三边 → 余弦定理。

避坑指南：求 $\cos B$ 要用 $B$ 的邻边 $a$、$c$ 与对边 $b$：分子是 $a^2+c^2-b^2$，把三边角色配错会得出 A 或 C 的错误形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：「三角齐次比例式化边」是解三角形小题的通用起手式，2011 湖南文 17、浙江文 05 同为先化边再运算。

结论推广：本题三边 $2,3,4$ 满足 $2^2+3^2<4^2$，$△ABC$ 为钝角三角形，但钝角在 $C$ 不在 $B$，$\cos B>0$ 与计算一致。

方法推广：见 $\sin$ 的连等式，立即用正弦定理换成正弦定理同分子的边连等式，设公比为一方便数值（如 12 的倍数）求出三边。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2011-湖南卷文-17 解-正弦定理与三角最值
• 2011-浙江卷文-05 单-正弦定理边角互化
• 2012-广东卷文-06 单-正弦定理解三角形