2011-重庆卷文-09 单-双曲线离心率范围

本题导读

本题考查双曲线的准线与渐近线，以及点与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(文)） 设双曲线的左准线与两条渐近线交于 $A$，$B$ 两点，左焦点在以 $AB$ 为直径的圆内，则该双曲线的离心率取值范围为 ()

A. $\left(0,\sqrt{2}\right)$　　　　B. $\left(1,\sqrt{2}\right)$　　　　C. $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$　　　　D. $\left(\sqrt{2},+\infty \right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：求出左准线与渐近线交点 $A,B$ 的纵坐标
2. 步骤2：把「焦点在圆内」翻译成 $b^2<ab$
3. 步骤3：得 $e\in (1,\sqrt{2})$

✅【答案】

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$(1,\sqrt{2})$。选 \textbf{B}

✍【详细解析】

Abstract

设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$），左准线 $x=-\frac{a^2}{c}$，渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 代入得 $A\left(-\frac{a^2}{c},\frac{ab}{c}\right)$，$B\left(-\frac{a^2}{c},-\frac{ab}{c}\right)$，线段 $AB$ 竖直，长度为 $\frac{2ab}{c}$，其中点为 $\left(-\frac{a^2}{c},0\right)$。 以 $AB$ 为直径的圆的圆心为 $\left(-\frac{a^2}{c},0\right)$，半径 $r=\frac{ab}{c}$。 左焦点 $F(-c,0)$ 在圆内等价于 $\left|c-\frac{a^2}{c}\right|<\frac{ab}{c}$，即 $\frac{c^2-a^2}{c}<\frac{ab}{c}$，得 $b^2<ab$。 由 $b>0$ 得 $b<a$，于是 $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}<\sqrt{2}$。 又双曲线离心率 $e>1$，故 $1<e<\sqrt{2}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：准线与渐近线交点坐标；点在圆内的不等式刻画；离心率 $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$ 的单调性。

核心方法：代数翻译（几何条件 → 不等式）→ 化归为 $a,b$ 的关系 → 离心率范围。

避坑指南：「在圆内」是距离小于半径而非大于；化简时 $c^2-a^2=b^2$ 的代入方向要写对。另外离心率下界是 $1$ 而非 $0$ 或 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，排除 A、C 靠的是双曲线定义本身。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：「准线 × 渐近线」组合构造离心率范围是圆锥曲线小题的经典手法，与 2013 重庆文 10（同卷种后续年份）、2014 重庆文 08 同族。

结论推广：若左焦点在以 $AB$ 为直径的圆上，则 $b=a$，$e=\sqrt{2}$，对应等轴双曲线；「圆内 / 圆上 / 圆外」三种位置恰好对应 $e<\sqrt{2}$、$e=\sqrt{2}$、$e>\sqrt{2}$。

方法推广：圆锥曲线位置关系小题：先把点的坐标全部用 $a,b,c$ 表出，再把几何位置写成坐标不等式，最后除以 $a^2$ 化成 $e$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷文-10 单-双曲线离心率范围
• 2014-重庆卷文-08 单-双曲线离心率
• 2012-重庆卷文-14 填-双曲线的离心率