2010-重庆卷文-21 解-双曲线与向量数量积

本题导读

考查双曲线与代数变形。$c=\sqrt{5}$、$e=\frac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow a=2$，$b^2=1$，方程 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$，渐近线 $y=\pm \frac{x}{2}$。（2）$M,N$ 满足 $x_i^2+4y_i^2=4$（在椭圆上）；$E(X,Y)$ 在双曲线上且 $MN$ 方程 $Xx+4Yy=4$；与两渐近线联立得 $G,H$ 坐标，$\overrightarrow{OG}\cdot \overrightarrow{OH}=\frac{16-4}{(X+2Y)(X-2Y)}=\frac{12}{X^2-4Y^2}=\frac{12}{4}=3$。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(文)） 已知以原点 $O$ 为中心，$F(\sqrt{5},0)$ 为右焦点的双曲线 $C$ 的离心率 $e=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

(1)求双曲线 $C$ 的标准方程及其渐近线方程；

(2)如图，已知过点 $M(x_1,y_1)$ 的直线 $l_1:x_{1}x+4y_{1}y=4$ 与过点 $N(x_2,y_2)$（其中 $x_2\ne x_1$）的直线 $l_2:x_{2}x+4y_{2}y=4$ 的交点 $E$ 在双曲线 $C$ 上，直线 $MN$ 与两条渐近线分别交于 $G$、$H$ 两点，求 $\overrightarrow{OG}\cdot \overrightarrow{OH}$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）$c=\sqrt{5}$，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow a=2$，$b^2=c^2-a^2=1$，写出标准方程与渐近线。 2.（2）$l_i$ 过 $(x_i,y_i)$ 代入得 $x_i^2+4y_i^2=4$，即 $M,N$ 都在椭圆 $x^2+4y^2=4$ 上。 3. 设 $E(X,Y)$：$E$ 在 $l_1,l_2$ 上 $\Rightarrow X{x}_i+4Y{y}_i=4$，说明 $M,N$ 都在直线 $Xx+4Yy=4$ 上，即 $MN$ 的方程。 4. $E$ 在双曲线上 $\Rightarrow X^2-4Y^2=4$。$MN$ 与渐近线 $y=\pm \frac{x}{2}$ 联立求 $G,H$，算数量积并用 $X^2-4Y^2=4$ 化简。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $\frac{x^2}{4}-y^2=1$，渐近线 $y=\pm \frac{x}{2}$

(2) $3$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设双曲线的实半轴长为 $a$，虚半轴长为 $b$，半焦距为 $c$. 由右焦点坐标得 $c=\sqrt{5}$，由离心率得 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2},$ 所以 $a=2$. 又 $c^2=a^2+b^2$，故 $b^2=5-4=1$. 因而双曲线方程为 $\frac{x^2}{4}-y^2=1,$ 渐近线方程为 $y=\pm \frac{x}{2}$. （2）由直线 $l_1$ 经过 $M(x_1,y_1)$，直线 $l_2$ 经过 $N(x_2,y_2)$，分别代入直线方程，得 $x_1^2+4y_1^2=4与x_2^2+4y_2^2=4,$ 所以 $M$，$N$ 都在椭圆 $x^2+4y^2=4$ 上. 设 $E=(X,Y)$. 由于 $E$ 在两条直线 $l_1$，$l_2$ 上，有 $X{x}_1+4Y{y}_1=4,X{x}_2+4Y{y}_2=4.$ 因此 $M$，$N$ 都在直线 $Xx+4Yy=4$ 上，故直线 $MN$ 的方程为 $Xx+4Yy=4.$ 又点 $E$ 在双曲线 $C$ 上，所以 $\frac{X^2}{4}-Y^2=1,即X^2-4Y^2=4.$ 直线 $MN$ 与渐近线 $y=\frac{x}{2}$ 的交点记为 $G$，与渐近线 $y=-\frac{x}{2}$ 的交点记为 $H$. 代入 $Xx+4Yy=4$，得 $G=\left(\frac{4}{X+2Y},\frac{2}{X+2Y}\right),H=\left(\frac{4}{X-2Y},-\frac{2}{X-2Y}\right).$ 因此 $\overrightarrow{OG}\cdot \overrightarrow{OH}=\frac{16}{(X+2Y)(X-2Y)}-\frac{4}{(X+2Y)(X-2Y)}=\frac{12}{X^2-4Y^2}=\frac{12}{4}=3.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线标准方程与代数变形

核心方法：$c=\sqrt{5}$、$e=\frac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow a=2$、$b^2=1$；$MN$ 方程 $Xx+4Yy=4$ 与渐近线联立，$\overrightarrow{OG}\cdot \overrightarrow{OH}=\frac{12}{X^2-4Y^2}=3$

避坑指南：$l_i$ 过 $(x_i,y_i)$ 代入方程得 $x_i^2+4y_i^2=4$，这一步把 $M,N$ “逼上椭圆”；$E$ 在两直线上 $\Rightarrow$ $M,N$ 都在直线 $Xx+4Yy=4$ 上（切点弦思想的对偶）；最终数量积的分子 $16-4=12$、分母 $X^2-4Y^2=4$ 全靠双曲线方程。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线大题的代数化处理：点在曲线上 $\Rightarrow$ 坐标满足方程，反复代入消元。

结论推广：$e=\frac{c}{a}$；$x^2+4y^2=4$ 是椭圆；点 $(X,Y)$ 在双曲线 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$ 上即 $X^2-4Y^2=4$。

方法推广：见到”$l_1$ 过 $M$、$l_2$ 过 $N$、交点 $E$ 在曲线上”结构：把 $M,N,E$ 的坐标关系逐条翻译成方程，最后统一用曲线方程化简；数量积按坐标展开约分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-22 解-双曲线平行线距离
• 2009-重庆卷文-20 解-双曲线定义最值
• 2011-重庆卷文-09 单-双曲线离心率范围
• 2009-福建卷文-04 单-双曲线离心率