2011-重庆卷理-08 单-极坐标

本题导读

本题考查圆的几何性质，以及过圆内定点的弦长性质。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(理)） 在圆 $x^2+y^2-2x-6y=0$ 内，过点 $E(0,1)$ 的最长弦和最短弦分别为 $AC$ 和 $BD$，则四边形 $ABCD$ 的面积为 ()

A. $5\sqrt{2}$　　　　　　B. $10\sqrt{2}$　　　　　　C. $15\sqrt{2}$　　　　　　D. $20\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 配方求出圆心坐标和半径 $R$。
2. 明确圆内过定点的最长弦即为过该点的直径，最短弦为与该直径垂直的弦。
3. 利用垂径定理计算最短弦的弦长。
4. 由于 $AC\perp BD$，四边形面积即为 $\frac{1}{2}|AC|\cdot |BD|$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

圆方程配方得：$(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=10$， 圆心为 $M(1,3)$，半径 $R=\sqrt{10}$。 过点 $E(0,1)$ 的最长弦 $AC$ 为直径，故 $|AC|=2R=2\sqrt{10}$。 最短弦 $BD$ 与 $AC$ 垂直，垂足为 $E$。 圆心 $M(1,3)$ 到定点 $E(0,1)$ 的距离 $d=|ME|=\sqrt{(1-0{)}^2+(3-1{)}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$。 由垂径定理，最短弦长 $|BD|=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{10-5}=2\sqrt{5}$。 因为 $AC\perp BD$，所以四边形 $ABCD$ 的面积为： $S=\frac{1}{2}|AC|\cdot |BD|=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{10}\times 2\sqrt{5}=10\sqrt{2}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：圆内过定点的极值弦长判定与垂径定理。
• 核心方法：几何法求弦长 $|BD|=2\sqrt{R^2-d^2}$；对角线互相垂直的四边形面积公式 $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$。
• 避坑指南：切忌联立方程组解析求解，充分运用平面几何直角三角形关系可极简解题。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自解析几何中圆的垂径性质及其几何极值特征。
• 结论推广：对于圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ 内一点 $P$（距圆心距离为 $d$），过 $P$ 的最长弦长为 $2R$，最短弦长为 $2\sqrt{R^2-d^2}$，两弦互相垂直，构成的四边形面积为 $2R\sqrt{R^2-d^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理
• 2013-山东卷理-09 单-圆的切线方程