2011-重庆卷理-16 解-三角函数

本题导读

本题考查诱导公式。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(理)） 设 $a\in \mathbf{R}$，$f(x)=\cos x(a\sin x-\cos x)+{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ 满足 $f\left(-\frac{\pi }{3}\right)=f(0)$，求函数 $f(x)$ 在 $\left[\frac{\pi }{4},\frac{11\pi }{24}\right]$ 上的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用诱导公式 $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$，展开并化简 $f(x)$，将式子整理为含 $\sin 2x$ 和 $\cos 2x$ 的形式。
2. 代入条件 $f\left(-\frac{\pi }{3}\right)=f(0)$，建立关于实数 $a$ 的方程并解得 $a$。
3. 利用辅助角公式将解析式化为标准型 $f(x)=A\sin (2x+\phi )+B$。
4. 根据给定的区间 $x\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{11\pi }{24}\right]$ 求出相角 $2x+\phi$ 的范围，进而求出函数的最大值与最小值。

✅【答案】

点击查看答案

(0) 待补

✍【详细解析】

Abstract

由诱导公式知 $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$， 故

$$\begin{array}{rl}f(x)& =a\sin x\cos x-{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x\\ & =\frac{a}{2}\sin 2x-({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)\\ & =\frac{a}{2}\sin 2x-\cos 2x.\end{array}$$

根据已知条件 $f\left(-\frac{\pi }{3}\right)=f(0)$：

$$f(0)=\frac{a}{2}\sin 0-\cos 0=-1,$$ $$f\left(-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{a}{2}\sin \left(-\frac{2\pi }{3}\right)-\cos \left(-\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{a}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{4}a+\frac{1}{2}.$$

因为 $f\left(-\frac{\pi }{3}\right)=f(0)$，所以：

$$-\frac{\sqrt{3}}{4}a+\frac{1}{2}=-1⟹-\frac{\sqrt{3}}{4}a=-\frac{3}{2}⟹a=2\sqrt{3}.$$

将 $a=2\sqrt{3}$ 代入 $f(x)$ 得：

$$f(x)=\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right).$$

当 $x\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{11\pi }{24}\right]$ 时，

$$2x\in \left[\frac{\pi }{2},\frac{11\pi }{12}\right],$$

则

$$2x-\frac{\pi }{6}\in \left[\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6},\frac{11\pi }{12}-\frac{\pi }{6}\right]=\left[\frac{\pi }{3},\frac{3\pi }{4}\right].$$

在区间 $\left[\frac{\pi }{3},\frac{3\pi }{4}\right]$ 上：

• 当 $2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$（即 $x=\frac{\pi }{3}$）时，$\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 取得最大值 $1$， 此时 $f(x{)}_{\max }=2\times 1=2$；
• 当 $2x-\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi }{4}$（即 $x=\frac{11\pi }{24}$）时，$\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 取得最小值 $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$（注意 $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}>\frac{\sqrt{2}}{2}$）， 此时 $f(x{)}_{\min }=2\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。

所以，函数 $f(x)$ 在 $\left[\frac{\pi }{4},\frac{11\pi }{24}\right]$ 上的最大值为 $2$，最小值为 $\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二倍角正弦公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 与余弦公式 $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$；辅助角公式化一法。
• 核心方法：整体代换法求复合三角函数值域（令 $t=2x-\frac{\pi }{6}$ 观察正弦线走向）。
• 避坑指南：
• 展开代入符号切勿弄错：${\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x=-\cos 2x$；
• 在确定闭区间最值时，注意判断相角端点 $\frac{\pi }{3}$ 与 $\frac{3\pi }{4}$ 处正弦值的大小关系，不可想当然地认为左端点为最小值。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：经典的三角函数化简与区间极值综合大题第一问原型，考查“降幂—化一—分析区间最值”的完整知识链条。
• 结论推广：函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$ 在 $[x_1,x_2]$ 上的最值，取决于闭区间 $[\omega x_1+\phi ,\omega x_2+\phi ]$ 是否包含对称轴 $\frac{\pi }{2}+k\pi$ 以及端点函数值的大小。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-12 填-诱导二倍角
• 2010-大纲卷II理-13
• 2021-浙江卷-18 解-三角综合