2011-重庆卷理-20 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(理)） 如图，椭圆的中心为原点 $O$，离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，一条准线的方程为 $x=2\sqrt{2}$.

(1) 求该椭圆的标准方程；

(2) 设动点 $P$ 满足：$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$，其中 $M,N$ 是椭圆上的点，直线 $OM$ 与 $ON$ 的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$.问：是否存在两个定点 $F_1,F_2$，使得 $|P{F}_1|+|P{F}_2|$ 为定值？若存在，求 $F_1,F_2$ 的坐标；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：根据准线方程为 $x=2\sqrt{2}$，可知椭圆焦点在 $x$ 轴上，准线公式为 $\frac{a^2}{c}=2\sqrt{2}$。由 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，联立方程求出 $a,c$，进而求出 $b$，写出标准方程。
2. 第二问：

• 设 $P(x,y)$，$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$。
• 由 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$，得 $x=x_1+2x_2$，$y=y_1+2y_2$。
• $M,N$ 在椭圆上且满足 $k_{OM}\cdot k_{ON}=\frac{y_1{y}_2}{x_1{x}_2}=-\frac{1}{2}$。
• 考虑参数方程或坐标消元求出点 $P$ 的轨迹方程。
• 若 $P$ 的轨迹为一个新的椭圆，则根据椭圆的第一定义，所求定点 $F_1,F_2$ 即为该轨迹椭圆的焦点。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由准线方程为 $x=2\sqrt{2}$ 知，椭圆的焦点在 $x$ 轴上， 设椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$)。 由题意得：

$$\{\begin{array}{l}\frac{a^2}{c}=2\sqrt{2},\\ \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

两式相乘得 $a=2\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=2$。 从而 $c=a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。 所以 $b^2=a^2-c^2=4-2=2$。 因此，该椭圆的标准方程为：

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1.$$

(2) 存在满足条件的两个定点 $F_1,F_2$。 设点 $P(x,y)$，$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$。 由 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$ 得：

$$x=x_1+2x_2,y=y_1+2y_2.$$

因为 $M,N$ 在椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ 上，所以：

$$\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{2}=1,\frac{x_2^2}{4}+\frac{y_2^2}{2}=1.$$

由已知直线 $OM$ 与 $ON$ 的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$，即：

$$\frac{y_1}{x_1}\cdot \frac{y_2}{x_2}=-\frac{1}{2}⟹2y_1{y}_2+x_1{x}_2=0⟹\frac{x_1{x}_2}{4}+\frac{y_1{y}_2}{2}=0.$$

计算表达式 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}$：

$$\begin{array}{rl}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}& =\frac{(x_1+2x_2{)}^2}{4}+\frac{(y_1+2y_2{)}^2}{2}\\ & =\frac{x_1^2+4x_1{x}_2+4x_2^2}{4}+\frac{y_1^2+4y_1{y}_2+4y_2^2}{2}\\ & =\left(\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{2}\right)+4\left(\frac{x_2^2}{4}+\frac{y_2^2}{2}\right)+4\left(\frac{x_1{x}_2}{4}+\frac{y_1{y}_2}{2}\right).\end{array}$$

将上述条件代入：

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1+4(1)+4(0)=5.$$

即点 $P(x,y)$ 的轨迹方程为：

$$\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{10}=1.$$

此方程表示以原点为中心，焦点在 $x$ 轴上的椭圆。 记该椭圆的长半轴长为 $A=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，短半轴长为 $B=\sqrt{10}$。 半焦距 $C=\sqrt{A^2-B^2}=\sqrt{20-10}=\sqrt{10}$。 由椭圆的定义，对该轨迹上任意点 $P$，点 $P$ 到其两焦点 $F_1(-\sqrt{10},0)$ 和 $F_2(\sqrt{10},0)$ 的距离之和恒等于 $2A=4\sqrt{5}$（定值）。 所以存在两定点 $F_1(-\sqrt{10},0)$，$F_2(\sqrt{10},0)$，使得 $|P{F}_1|+|P{F}_2|$ 为定值。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：椭圆基本几何量计算；向量的线性坐标合成；椭圆定义在轨迹问题中的还原。
• 核心方法：目标代数式配凑法——直接对 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ 进行展开，利用点在椭圆上及斜率乘积条件化简为常数。
• 避坑指南：避免引入角参数后进行繁琐的三角变形；注意验证 $k_{OM}\cdot k_{ON}=-\frac{b^2}{a^2}$ 时对应共轭直径的代数交叉项恰好抵消为 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高等几何中中心二次曲线的“共轭直径”理论。当 $k_1{k}_2=-\frac{b^2}{a^2}$ 时，直线 $OM$ 与 $ON$ 方向互为共轭直径。
• 结论推广：设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，动点 $M,N$ 在椭圆上且 $k_{OM}{k}_{ON}=-\frac{b^2}{a^2}$。若动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP}=\lambda \overrightarrow{OM}+\mu \overrightarrow{ON}$，则点 $P$ 的轨迹必为相似同心椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}={\lambda }^2+{\mu }^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-12 填-椭圆方程与性质
• 2013-上海卷理-09 填-椭圆方程与性质
• 2013-四川卷理-20 解-椭圆定义