2011-陕西卷文-04 单-幂函数图象识别

本题导读

本题考查幂函数的图象，以及图象识别。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(文)） 函数 $y=x^{\frac{1}{3}}$ 的图象是 ()

A. 　　　　　　　　　B. 　　　　　　　　　C. 　　　　　　　　　D.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由奇函数、过定点 $(1,1)$、在 $(0,+\infty )$ 上增长趋缓三个特征筛选

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$y=x^{\frac{1}{3}}$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，且 $f(-x)=\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}=-f(x)$，是奇函数，图象关于原点对称，排除只有一个分支的形状。

在 $[0,+\infty )$ 上递增，且 $x$ 越大增长越慢（图象上凸趋平）；过定点 $(0,0)$、$(1,1)$、$(-1,-1)$。

又它是 $y=x^3$ 的反函数，图象与 $y=x^3$ 关于直线 $y=x$ 对称。

对照四个选项：A 增长越来越快（是 $y=x^3$ 型）；B 增长趋缓且过 $(1,1)$；C、D 分别为非奇函数或符号不符。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：幂函数 $y=x^{\frac{1}{3}}$ 的图象与性质；奇函数图象的对称性

核心方法：抓三个特征筛选：奇偶性定对称、定点 $(1,1)$ 定位置、增长快慢定凹凸

避坑指南：$y=x^{\frac{1}{3}}$ 与 $y=x^3$ 互为反函数，两者图象关于 $y=x$ 对称而并不重合；在原点附近 $x^{\frac{1}{3}}$ 比 $x$ 大（如 $0.001\to 0.1$），把”原点附近更陡”与”远离原点更平缓”读反就会错选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：幂函数图象识别题与 2013-新课标I卷文-09、2014-浙江卷理-07、2012-四川卷文-04 同族。

结论推广：推广：幂函数 $y=x^{\alpha }$ 在 $\alpha >1$ 时远离原点越来越陡（下凸），$0<\alpha <1$ 时增长趋缓（上凸）；$\alpha$ 为奇数（分母奇）时是奇函数。

方法推广：图象识别题：先定奇偶（对称性）与定义域，再过特殊点 $(\pm 1,\pm 1)$ 验证，最后比较凹凸方向。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-09 单-函数图象识别
• 2014-浙江卷理-07 单-幂函数图象
• 2012-四川卷文-04 单-指数函数图象识别