2008-山东卷文-03 单-对数型函数图象判断

本题导读

$\ln \cos x$ 是偶函数排除奇图象；$\cos x⩽1$ 使 $\ln \cos x⩽0$ 排除正值图象.

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(文)） 函数 $y=\ln \cos x\left(-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}\right)$ 的图象是()

🔍【思路分析】

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偶函数 $\Rightarrow$ 图象关于 $y$ 轴对称；$0<\cos x⩽1\Rightarrow y⩽0$，$x=0$ 处取最大值 $0$，选 A.

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因 $\cos (-x)=\cos x$，函数为偶函数，图象关于 $y$ 轴对称，排除 B、D. 又 $0<\cos x⩽1$，故 $\ln \cos x⩽\ln 1=0$，函数非正，$x=0$ 时取最大值 $0$，排除 C，选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数复合函数的图象识别

核心方法：复合结构拆两层：$u=\cos x$ 有界，$y=\ln u$ 递增；奇偶性与取值范围双排除

避坑指南：$$\begin{gathered} cosx \\ leqslant1 \end{gathered}$$ 使 $$\begin{gathered} y \\ leqslant0 \end{gathered}$$（最大值 $0$ 在 $x=0$），开口向上的 U 形图象是错的；偶函数先排除 B、D 再看范围

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数复合函数图象识别（2010 四川文 2 对数图象）

结论推广：可推广到 $y=\ln \sin x$、$y=e^{\cos x}$ 等，先奇偶后范围

方法推广：复合函数图象题：内层有界+外层单调，排除法两轮定位

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2010-四川卷文-02 单-对数函数图象
• 2009-山东卷文-06 单-函数图象识别
• 2009-江西卷文-11 单-函数图象识别
• 2011-陕西卷文-04 单-幂函数图象识别