2011-陕西卷理-10 单-期望

本题导读

本题考查古典概型，以及排列组合与分步乘法计数原理。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(理)） 甲、乙两人一起去游“2011 西安世园会”，他们约定，各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览，每个景点参观 1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ()

A. $\frac{1}{36}$　　　　　　B. $\frac{1}{9}$　　　　　　C. $\frac{5}{36}$　　　　　　D. $\frac{1}{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 独立分析法：甲从 6 个景点中选 4 个并排定顺序，其第 4 个小时（最后一小时）游览的景点可以是 1 至 6 号中的任意一个，各个景点等可能（概率为 $\frac{1}{6}$）。同理，乙最后一小时游览任一景点的概率也是 $\frac{1}{6}$。
2. 两人各自最后一小时参观的景点相互独立，直接按两者选择相同景点的概率求解；或固定甲最后一小时的景点，乙恰好选到该景点的概率即为 $\frac{1}{6}$。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

方法一（位置等可能分析法）： 甲、乙两人各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个按顺序参观。 对于甲而言，其最后一小时（即第 4 个景点）被选中的景点是 1 到 6 号中的任意一个，由对称性可知，每个景点在最后一小时被参观的概率均相等，均为： $P_1=\frac{1}{6}$ 同理，乙在最后一小时参观某个景点的概率也均为 $\frac{1}{6}$。 由于甲、乙独立选择，甲在最后一小时参观了某确定景点后，乙在最后一小时恰好也参观该景点的概率为 $\frac{1}{6}$。 因此，最后一小时他们同在一个景点的概率为 $\frac{1}{6}$。

方法二（古典概型法）： 甲选 4 个景点的排列总数为 ${\text{A}}_6^4$，乙选 4 个景点的排列总数为 ${\text{A}}_6^4$。 基本事件总数为： $N={\text{A}}_6^4\times {\text{A}}_6^4$ 设两人最后一小时在同一个景点，可先从 6 个景点中任选 1 个作为最后一小时的共同景点，有 ${\text{C}}_6^1=6$ 种选法； 对于剩下的前 3 个小时： 甲从剩余的 5 个景点中选 3 个排列，有 ${\text{A}}_5^3$ 种选法； 乙从剩余的 5 个景点中选 3 个排列，有 ${\text{A}}_5^3$ 种选法。 满足条件的基本事件数为： $m=6\times {\text{A}}_5^3\times {\text{A}}_5^3$ 所以所求概率为： $P=\frac{6\times {\text{A}}_5^3\times {\text{A}}_5^3}{{\text{A}}_6^4\times {\text{A}}_6^4}=\frac{6\times {\text{A}}_5^3\times {\text{A}}_5^3}{(6\times {\text{A}}_5^3)\times (6\times {\text{A}}_5^3)}=\frac{1}{6}$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：排列组合计数、古典概型、对称性原理。
• 核心方法：抓住“最后一小时”这一特定位置，各景点出现的对称等可能性，无需考虑前 3 个景点的具体排列。
• 避坑指南：容易错误地将问题复杂化，去讨论“选出的 4 个景点有几个相同”，从而浪费大量时间甚至出现漏解。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自抽签原理（等可能位置原理）在古典概型中的巧妙应用。
• 结论推广：从 $N$ 个元素中无放回抽取 $k$ 个元素排成一列，第 $i$ 个位置（$1⩽i⩽k$）出现特定元素的概率恒为 $\frac{1}{N}$，与位置 $i$ 的先后次序无关。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-07 填-古典概型
• 2013-辽宁卷理-19 解-古典概型的概率计算
• 2014-江西卷理-13 填-古典概型