2012-上海卷理-15 单-复数根

本题导读

本题考查实系数一元二次方程虚根成对出现的性质，以及韦达定理的应用。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(理)） 若 $1+\sqrt{2}i$ 是关于 $x$ 的实系数方程 $x^2+bx+c=0$ 的一个复数根，则()

A. $b=2,c=3$　　B. $b=-2,c=3$　　C. $b=-2,c=-1$　　D. $b=2,c=-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用共轭根定理：实系数方程的虚根成对共轭出现，另一个根为 $1-\sqrt{2}i$。
2. 用韦达定理：由两根之和与两根之积分别求出 $-b$ 与 $c$。
3. 对照选项：得到 $b=-2$，$c=3$，对应选项 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定另一个根 因为方程 $x^2+bx+c=0$ 的系数均为实数，虚根成对共轭出现，故另一个根为 $\overline{x_1}=1-\sqrt{2}i$

第二步：应用韦达定理 $x_1+x_2=(1+\sqrt{2}i)+(1-\sqrt{2}i)=2=-b$ $x_1{x}_2=(1+\sqrt{2}i)(1-\sqrt{2}i)=1^2-(\sqrt{2}i{)}^2=1+2=3=c$

第三步：写出系数 由两根之和得 $-b=2$，即 $b=-2$；两根之积式已直接给出 $c=3$。

故正确选项为：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：实系数方程虚根成对定理，以及韦达定理中“和”与“积”的符号。

核心方法：“共轭根定理”。看到实系数方程与一个虚根，立即写出其共轭虚根，再用韦达定理定系数。

避坑指南：- 两根之和等于 $-b$ 而不是 $b$，由 $2=-b$ 应得 $b=-2$，这是本题最主要的失分点。 - 计算乘积时用平方差公式得 $1-(\sqrt{2}i{)}^2=1+2=3$，切勿把 $i^2$ 当成 $1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的共轭运算、一元二次方程根与系数的关系。

结论推广：若实系数方程有根 $p+qi(q\ne 0)$，则必有根 $p-qi$，且对应二次因式为 $(x-p{)}^2+q^2$。

方法推广：凡实系数多项式给出虚根（或含参数的复数根），首要动作是写出共轭根，进而确定二次因式并比较系数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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• 2015-上海卷理-15 单-复数概念

• 2012-上海卷文-01 填-复数除法运算

• 2018-北京卷文-02 单-复数运算