2012-上海卷理-17 单-方差比较

本题导读

本题考查离散型随机变量的方差，以及通过取平均压缩数据离散程度的比较。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(理)） 设 $10⩽x_1<x_2<x_3<x_4⩽10^4$，$x_5=10^5$.随机变量 ${\xi }_1$ 取值 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ 的概率均为 $0.2$，随机变量 ${\xi }_2$ 取值 $\frac{x_1+x_2}{2},\frac{x_2+x_3}{2},\frac{x_3+x_4}{2},\frac{x_4+x_5}{2},\frac{x_5+x_1}{2}$ 的概率也均为 $0.2$.若记 $D{\xi }_1,D{\xi }_2$ 分别为 ${\xi }_1,{\xi }_2$ 的方差，则()

A. $D{\xi }_1>D{\xi }_2$　　B. $D{\xi }_1=D{\xi }_2$　　C. $D{\xi }_1<D{\xi }_2$　　D. $D{\xi }_1$ 与 $D{\xi }_2$ 的大小关系与 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 的取值有关

🔍【思路分析】

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1. 写出两个方差：两者期望相同，只需比较平方的平均数。
2. 用不等式放缩：对每组相邻数据用 ${\left(\frac{u+v}{2}\right)}^2\le \frac{u^2+v^2}{2}$ 进行比较。
3. 判断等号能否取到：由数据的严格大小关系说明只能取严格不等号。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确认两个变量的期望相同 记 $y_i$ 为 ${\xi }_2$ 的取值，则 $y_1=\frac{x_1+x_2}{2}$，$y_2=\frac{x_2+x_3}{2}$，$y_3=\frac{x_3+x_4}{2}$，$y_4=\frac{x_4+x_5}{2}$，$y_5=\frac{x_5+x_1}{2}$。 两者取值概率均为 $0.2$，且 $E{\xi }_2=\frac{1}{5}{\sum }_{i=1}^5{y}_i=\frac{1}{5}\left(\frac{x_1+x_2}{2}+\frac{x_2+x_3}{2}+\cdots +\frac{x_5+x_1}{2}\right)=\frac{1}{5}{\sum }_{i=1}^5{x}_i=E{\xi }_1$ 因此比较方差只需比较平方的期望。

第二步：对每一组取平均后的平方进行放缩 由 ${\left(\frac{u+v}{2}\right)}^2\le \frac{u^2+v^2}{2}$（等号当且仅当 $u=v$），得 $y_1^2\le \frac{x_1^2+x_2^2}{2},y_2^2\le \frac{x_2^2+x_3^2}{2},\cdots ,y_5^2\le \frac{x_5^2+x_1^2}{2}$ 因为 $10\le x_1<x_2<x_3<x_4\le 10^4<10^5=x_5$，每一组的两个数都不相等，故上述五式均为严格不等式。

第三步：求和并比较方差 求和得 ${\sum }_{i=1}^5{y}_i^2<\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^5\left(x_i^2+x_{i+1}^2\right)={\sum }_{i=1}^5{x}_i^2(\text{其中 }{x}_6=x_1)$ 两边同除以 $5$，得 $E{\xi }_2^2<E{\xi }_1^2$，又两者期望相等，所以 $D{\xi }_2=E{\xi }_2^2-(E{\xi }_2{)}^2<E{\xi }_1^2-(E{\xi }_1{)}^2=D{\xi }_1$

故 $D{\xi }_1>D{\xi }_2$，正确选项为：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：离散型随机变量期望与方差的定义式，以及方差反映离散程度的本质。

核心方法：“平方平均放缩”。利用 ${\left(\frac{u+v}{2}\right)}^2\le \frac{u^2+v^2}{2}$ 把“取平均”这一操作与平方均值联系起来。

避坑指南：- 两个变量的期望相等，因此比较方差等价于比较“平方的平均值”，无需分别算出方差表达式。 - 选项 D 具有迷惑性：由于每一组取平均后离差都严格变小，大小关系与 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 的具体取值无关。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平均数与方差的计算公式、基本不等式 $(u-v{)}^2\ge 0$ 的变形。

结论推广：对一组数据作“相邻两项取算术平均”的平滑处理，其期望不变而方差严格减小，这是一条普遍成立的结论。

方法推广：比较两个随机变量方差的大小时，先考查期望是否相同；若相同，则直接比较二阶矩即可简化运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征 类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-16 填-平均数与方差

• 2010-山东卷文-06 单-平均数与方差

• 2006-江苏卷-03 单-平均数方差定差