2012-北京卷理-02 单-几何概型

本题导读

本题考查几何概型，以及二元一次不等式与平面区域。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(理)） 设不等式组 $\{\begin{array}{l}0⩽x⩽2\\ 0⩽y⩽2\end{array}$ 表示的平面区域为 $D$，在区域 $D$ 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 $2$ 的概率是()

A. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　B. $\frac{\pi -2}{2}$　　　　　　C. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　D. $\frac{4-\pi }{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定全集区域 $D$ 的几何形状并计算其面积 $S_D$。
2. 确定目标事件对应的区域几何形状。到原点距离大于 2 的点的集合，在坐标系中表现为圆 $x^2+y^2=4$ 外部。
3. 结合区域 $D$ 找出重叠部分，计算目标区域的面积 $S_{\text{目标}}$。
4. 利用几何概型公式 $P=\frac{S_{\text{目标}}}{S_D}$ 计算概率。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算总区域 $D$ 的面积

不等式组 $\{\begin{array}{l}0⩽x⩽2\\ 0⩽y⩽2\end{array}$ 在平面直角坐标系中所表示的图形是一个位于第一象限、边长为 $2$ 的正方形区域 $D$。 其面积为： $S_D=2\times 2=4$

第二步：确定目标区域并计算其面积

设平面内任意一点为 $(x,y)$，该点到坐标原点 $(0,0)$ 的距离为 $d=\sqrt{x^2+y^2}$。 题目要求距离大于 $2$，即： $\sqrt{x^2+y^2}>2⟹x^2+y^2>4$ 这表示以原点为圆心、以 $2$ 为半径的圆的外部区域。

在区域 $D$（正方形）内部，不满足该条件的点（即到原点距离小于等于 2 的点）满足 $x^2+y^2⩽4$，它恰好构成该圆在第一象限的四分之一圆扇形。 该四分之一圆的面积为： $S_{\text{圆弧}}=\frac{1}{4}\times \pi \times 2^2=\pi$

因此，在正方形区域 $D$ 内，满足到原点距离大于 $2$ 的目标区域面积为正方形面积减去四分之一圆的面积： $S_{\text{目标}}=S_D-S_{\text{圆弧}}=4-\pi$

第三步：计算几何概型概率

根据几何概型的概率计算公式，所求概率为目标区域面积与总区域 $D$ 面积的比值： $P=\frac{S_{\text{目标}}}{S_D}=\frac{4-\pi }{4}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面区域的几何建模；几何概型中二维面积测度的应用。
2. 核心方法：间接面积割补法（利用正方形减去扇形）。
3. 避坑指南：

• 审题时需注意距离是“大于 $2$”还是“小于 $2$”。若误记为小于 $2$，则会求得扇形区域的概率 $\frac{\pi }{4}$，从而错选 A。
• 熟练掌握圆的方程以及扇形面积公式，本题半径 $R=2$，切勿在求圆面积时将半径平方写错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题为2012年北京卷高考理科数学第2题，是一道典型的将线性规划平面区域与几何概型相结合的综合基础题。
2. 结论推广： 若区域 $D$ 由 $\{\begin{array}{l}0⩽x⩽R\\ 0⩽y⩽R\end{array}$ 确定，在区域 $D$ 内随机取一点，则该点到原点的距离大于 $R$ 的概率 $P$ 是一个与具体数值 $R$ 无关的几何常数。 通过公式推导： $P=\frac{R^2-\frac{1}{4}\pi R^2}{R^2}=1-\frac{\pi }{4}=\frac{4-\pi }{4}$ 本题中 $R=2$，直接代入该不变量模型即可验证答案为 $\frac{4-\pi }{4}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式 类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-06 填-几何概型面积

• 2008-湖北卷文-05 单-不等式组平面区域

• 2009-山东卷文-11 单-几何概型