2012-北京卷理-05 单-几何证明选讲

本题导读

本题考查直角三角形相似与射影定理，以及切割线定理与割线定理。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(理)） 如图， $\angle ACB=90^{\circ }$ ， $CD\perp AB$ 于点 $D$ ，以 $BD$ 为直径的圆与 $BC$ 交于点 $E$ ．则()

A. $CE\cdot CB=AD\cdot DB$　　　　　　　　　　　　　　B. $CE\cdot CB=AD\cdot AB$

C. $AD\cdot AB=C{D}^2$　　　　　　　　　　　　　　　D. $CE\cdot EB=C{D}^2$

🔍【思路分析】

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1. 分析直角三角形中的射影流形（射影定理）：

• 在 $\text{Rt}△ABC$ 中， $CD$ 是斜边 $AB$ 上的高。根据直角三角形相似的基本性质，可得高线平方满足 $C{D}^2=AD\cdot DB$。

2. 分析圆的比例线段关系（割线定理/切割线定理性质）：

• 观察以 $BD$ 为直径的圆。从圆外一点 $C$ 出发，引出了两条穿过圆的割线：一条是沿高线方向的 $C-D-B$（其中 $CD$ 与圆相切于点 $D$），另一条是沿直角边方向的 $C-E-B$。
• 证明 $CD$ 是圆的切线：因为 $BD$ 是直径，且 $CD\perp AB⟹CD\perp BD$，根据切线的判定定理， $CD$ 严格是该圆的切线。
• 应用切割线定理：切线段的平方等于割线段与外段的乘积，即 $C{D}^2=CE\cdot CB$。

3. 等量代换闭环：

• 联立 $C{D}^2=AD\cdot DB$ 与 $C{D}^2=CE\cdot CB$，消去公共中间量 $C{D}^2$，即可得出选项。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：运用直角三角形射影定理

在 $△ABC$ 中，因为 $\angle ACB=90^{\circ }$，所以 $△ABC$ 是直角三角形。 又因为 $CD\perp AB$，垂足为 $D$，根据直角三角形相似判定， 满足 $△ACD\sim △CBD$。 由对应边成比例： $\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}⟹C{D}^2=AD\cdot DB\dots \dots \text{(1)}$

第二步：运用圆的切割线定理

已知圆的直径为 $BD$。因为 $CD\perp AB$ 于点 $D$，所以 $CD\perp BD$。 由于直线 $CD$ 经过直径 $BD$ 的端点 $D$，且与直径垂直，根据圆的切线判定定理： $CD\text{ 是该圆的切线， }D\text{ 为切点}$

从圆外一点 $C$ 出发， $CD$ 是圆的切线， $C-E-B$ 是圆的一条割线。 根据圆的切割线定理（切线段的平方等于割线段与其外道截段的乘积）： $C{D}^2=CE\cdot CB\dots \dots \text{(2)}$

第三步：等量代换输出结论

综合 ① 式与 ② 式，由于左端项均为 $C{D}^2$，两式右端项必然相等： $CE\cdot CB=AD\cdot DB$

对比选项，A 项的代数等式完全吻合。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直角三角形高线双分图形的相似比值；圆的切线判定与切割线定理。
2. 核心方法：等量代换法（引入 $C{D}^2$ 作为桥梁）。
3. 避坑指南：

• 射影定理公式混淆：直角三角形中一共有三个射影不变量： $C{D}^2=AD\cdot DB$、 $A{C}^2=AD\cdot AB$、 $B{C}^2=BD\cdot BA$。部分考生容易记错乘积的截段，将 ① 式错记为 $C{D}^2=AD\cdot AB$。
• 割线段的乘积写错位置：应用切割线定理时，割线部分必须是“整个割线长 $\times$ 圆外部分”，即 $CB\cdot CE$。考生常犯的经典错误是写成 $CE\cdot EB$，从而误选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题为2012年北京卷高考理科数学第5题，属于平面几何选讲（旧高考选考大类）中关于相似三角形与圆幂定理的经典综合题。
2. 结论推广： 在近代射影几何中，本题模型被称为**“直角高线共轭割线圆幂不变量模型”**。 只要满足 $\angle ACB=90^{\circ }$ 且 $CD\perp AB$，以斜边任意一段截段为直径作圆，该割线几何等式 $CE\cdot CB=AD\cdot DB$ 恒成立。它揭示了直角三角形的内部度量与圆在切向投影上的拓扑对称性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷理-14 填-切割线定理
• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理