2012-四川卷文-14 填-异面直线所成角

本题导读

本题考查异面直线所成的角，以及空间向量的坐标运算。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(文)） 如图，在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$M$，$N$ 分别是 $CD$，$C{C}_1$ 的中点，则异面直线 $A_{1}M$ 与 $DN$ 所成角的大小是$\underline{}$.

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🔍【思路分析】

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以 $A$ 为原点建系（棱长取 $1$），得 $\overrightarrow{A_{1}M}=\left(\frac{1}{2},1,-1\right)$，$\overrightarrow{DN}=\left(1,0,\frac{1}{2}\right)$，数量积为 $0$，故所成角为 $90^{\circ }$。

✅【答案】

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$90^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

设正方体棱长为 $1$，以 $A$ 为原点、$AB$、$AD$、$A{A}_1$ 为坐标轴建系：

$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(1,1,0)$，$D(0,1,0)$，$A_1(0,0,1)$。

$M$ 是 $CD$ 中点，故 $M\left(\frac{1}{2},1,0\right)$；$N$ 是 $C{C}_1$ 中点，故 $N\left(1,1,\frac{1}{2}\right)$。

于是 $\overrightarrow{A_{1}M}=\left(\frac{1}{2},1,-1\right)$，$\overrightarrow{DN}=\left(1,0,\frac{1}{2}\right)$。

$\overrightarrow{A_{1}M}\cdot \overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}\times 1+1\times 0+(-1)\times \frac{1}{2}=0$。

所以两条异面直线互相垂直，所成角为 $90^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成角的向量求法；数量积与垂直的等价关系

核心方法：建系 → 写两条直线的方向向量 → 算数量积，为零即垂直，免去求模与反三角函数

避坑指南：异面直线所成角的范围是 $\left(0^{\circ },90^{\circ }\right]$，向量夹角若算出钝角须取其余角（补角）；本题数量积恰为 $0$，两种取法结果一致。另需注意 $N$ 是 $C{C}_1$ 的中点，坐标为 $\left(1,1,\frac{1}{2}\right)$ 而不是 $\left(1,1,1\right)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方体中异面直线所成角题，与 2012 年大纲卷文第 16 题、2013 年上海卷文第 10 题同族。

结论推广：空间向量法判定垂直只需数量积为零；正方体中”两条线段中点连线”型问题，方向向量坐标中往往出现 $\frac{1}{2}$ 与 $1$ 的搭配，便于口算。

方法推广：求异面直线所成角的固定路径：建系（利用正方体的三组垂棱）→ 写方向向量 → 数量积定夹角余弦的绝对值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-大纲卷文-16 填-异面直线所成角
• 2013-上海卷文-10 填-异面直线所成角
• 2014-大纲卷文-04 单-异面直线所成角