2014-大纲卷文-04 单-异面直线所成角

本题导读

设棱长 $s$ 建系，$\overrightarrow{EC}$ 与 $\overrightarrow{BD}$ 夹角余弦 $\frac{\sqrt{3}}{6}$，选 B。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(文)） 已知正四面体 $ABCD$ 中，$E$ 是 $AB$ 的中点，则异面直线 $CE$ 与 $BD$ 所成角的余弦值为()

A. $\frac{1}{6}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{6}$　　　　　　　C. $\frac{1}{3}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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设棱长 $s$ 建系，$\overrightarrow{EC}$ 与 $\overrightarrow{BD}$ 夹角余弦 $\frac{\sqrt{3}}{6}$，选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设正四面体棱长为 $s$，以 $A$ 为原点建系：$A(0,0,0)$，$B(s,0,0)$，$C\left(\frac{s}{2},\frac{\sqrt{3}s}{2},0\right)$，$D\left(\frac{s}{2},\frac{\sqrt{3}s}{6},\frac{\sqrt{6}s}{3}\right)$，$E\left(\frac{s}{2},0,0\right)$。

$\overrightarrow{EC}=\left(0,\frac{\sqrt{3}s}{2},0\right)$，$\overrightarrow{BD}=\left(-\frac{s}{2},\frac{\sqrt{3}s}{6},\frac{\sqrt{6}s}{3}\right)$。

$\overrightarrow{EC}\cdot \overrightarrow{BD}=\frac{\sqrt{3}s}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}s}{6}=\frac{s^2}{4}$。

$|\overrightarrow{EC}|=\frac{\sqrt{3}s}{2}$，$|\overrightarrow{BD}|=s$。

$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{EC}\cdot \overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{EC}||\overrightarrow{BD}|}=\frac{s^2/4}{\frac{\sqrt{3}s}{2}\cdot s}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$。

选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：异面直线所成的角；空间向量求夹角

2. 核心方法：正四面体建系 + 方向向量夹角公式（取绝对值）

3. 避坑指南：①异面直线所成角的范围是 $(0,\frac{\pi }{2}]$，向量夹角为钝角时要取绝对值；②正四面体第四个顶点的坐标 $D\left(\frac{s}{2},\frac{\sqrt{3}s}{6},\frac{\sqrt{6}s}{3}\right)$ 中 $\frac{\sqrt{6}s}{3}$ 别写成 $\frac{\sqrt{3}s}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 异面直线所成角小题（doc 考点定位：立体几何），与 2014 年新课标Ⅱ理第 11 题同族。

2. 结论推广: 一般地，正四面体常用”底面正三角形 + 顶点投影到中心”建系；异面直线所成角 $\cos \theta =\frac{|\vec{m}\cdot \vec{n}|}{|\vec{m}||\vec{n}|}$。

3. 方法推广: 规则几何体（正四面体、正方体）中的角，建系向量法最稳；几何平移法可作对比检验。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷理-11 单-异面直线所成的角
• 2014-新课标I卷文-19 解-线面垂直与棱柱高