2012-大纲卷文-16 填-异面直线所成角

本题导读

本题考查异面直线所成的角，以及空间向量的数量积。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(文)） 已知正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E$、$F$ 分别为 $B{B}_1$、$C{C}_1$ 的中点，那么异面直线 $AE$ 与 $D_{1}F$ 所成角的余弦值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$\overrightarrow{AE}=\left(1,0,\frac{1}{2}\right)$，$\overrightarrow{D_{1}F}=\left(1,0,-\frac{1}{2}\right)$，余弦值 $\frac{3/4}{5/4}=\frac{3}{5}$。

✅【答案】

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$\frac{3}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

设棱长为 $1$，以 $A$ 为原点、$AB$、$AD$、$A{A}_1$ 为 $x,y,z$ 轴建系：$A(0,0,0)$，$D_1(0,1,1)$，$E\left(1,0,\frac{1}{2}\right)$，$F\left(1,1,\frac{1}{2}\right)$。

$\overrightarrow{AE}=\left(1,0,\frac{1}{2}\right)$，$\overrightarrow{D_{1}F}=\left(1,0,-\frac{1}{2}\right)$。

$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{D_{1}F}=1+0-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，$|\overrightarrow{AE}|=|\overrightarrow{D_{1}F}|=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。

故所成角的余弦值为 $\frac{3/4}{5/4}=\frac{3}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成的角；空间向量的数量积

核心方法：建系写出方向向量 → 夹角余弦公式取绝对值

避坑指南：异面直线所成角的范围是 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，向量夹角可能为钝角，必须取绝对值；$E$、$F$ 是中点，$z$ 坐标是 $\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方体中点连线所成角问题，与 2014 年大纲卷文第 4 题、2013 年江苏卷第 22 题（异面直线所成角）同族。

结论推广：一般地，正方体中”底面棱上中点—竖棱中点”的连线向量，模长与点积常含 $\frac{1}{4}$ 型分数项，通分后结果多为 $\frac{3}{5}$、$\frac{4}{5}$ 这类有理数。

方法推广：异面直线所成角：建系（或平移）→ 方向向量 → $\cos \theta =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-04 单-异面直线所成角

• 2013-江苏卷-22 解-异面直线所成的角