2013-江苏卷-22 解-异面直线所成的角

本题导读

本题考查空间向量的应用。核心在于空间向量法、空间向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年江苏卷） 如图，在直三棱柱 $A_1{B}_1{C}_1-ABC$ 中，$AB\perp AC$，$AB=AC=2$，$A{A}_1=4$，点 $D$ 是 $BC$ 的中点.

(1)求异面直线 $A_{1}B$ 与 $C_{1}D$ 所成角的余弦值；

(2)求平面 $AD{C}_1$ 与平面 $AB{A}_1$ 所成二面角的正弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系：由于是直三棱柱且 $AB\perp AC$，可以以 $A$ 为原点，射线 $AB,AC,A{A}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
2. 坐标化：写出所有相关点 $A,B,C,A_1,C_1,D$ 的坐标。
3. 计算向量：求出方向向量 $\overrightarrow{A_{1}B}$ 和 $\overrightarrow{C_{1}D}$。
4. 第一问：利用公式 $\cos \theta =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$ 计算异面直线夹角。
5. 第二问：
   • 求出平面 $AD{C}_1$ 的法向量 ${\vec{n}}_1$。
   • 平面 $AB{A}_1$ 位于 $xOz$ 平面上，法向量 ${\vec{n}}_2$ 可直接观察得出。
   • 计算二面角余弦值，再通过平方关系转化为正弦值。

✅【答案】

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则相关点坐标为：

✍【详细解析】

Abstract

解： 以 $A$ 为原点，射线 $AB,AC,A{A}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系 $A-xyz$。 则相关点坐标为： $A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A_1(0,0,4),C_1(0,2,4)$。 由于 $D$ 是 $BC$ 的中点，由中点坐标公式得 $D(1,1,0)$。

（1）求异面直线所成角的余弦值： $\overrightarrow{A_{1}B}=(2,0,-4)$，$\overrightarrow{C_{1}D}=(1,-1,-4)$。 设异面直线 $A_{1}B$ 与 $C_{1}D$ 所成的角为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{A_{1}B}\cdot \overrightarrow{C_{1}D}|}{|\overrightarrow{A_{1}B}|\cdot |\overrightarrow{C_{1}D}|}=\frac{|2\times 1+0\times (-1)+(-4)\times (-4)|}{\sqrt{2^2+0^2+(-4{)}^2}\cdot \sqrt{1^2+(-1{)}^2+(-4{)}^2}}$ $\cos \theta =\frac{|2+16|}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{18}}=\frac{18}{2\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{2}}=\frac{18}{6\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$

（2）求二面角的正弦值： 由建系可知，平面 $AB{A}_1$ 即 $xOz$ 平面，其法向量可取为 ${\vec{n}}_2=(0,1,0)$。 对于平面 $AD{C}_1$，有 $\overrightarrow{AD}=(1,1,0)$，$\overrightarrow{A{C}_1}=(0,2,4)$。 设其法向量为 ${\vec{n}}_1=(x,y,z)$，则： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{AD}=x+y=0\\ {\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{A{C}_1}=2y+4z=0\end{array}$ 令 $y=-2$，则 $x=2,z=1$。故 ${\vec{n}}_1=(2,-2,1)$。 设平面 $AD{C}_1$ 与平面 $AB{A}_1$ 所成二面角为 $\alpha$，则： $\cos \alpha =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1|\cdot |{\vec{n}}_2|}=\frac{|(2,-2,1)\cdot (0,1,0)|}{\sqrt{4+4+1}\cdot 1}=\frac{2}{3}$ 根据同角三角函数关系，二面角的正弦值为： $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-(\frac{2}{3}{)}^2}=\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间向量解决立体几何问题，特别是“二面角”和“异面直线角”的坐标计算。

核心方法：直角坐标系法。在直棱柱或含有垂直关系的图形中，建系是避开复杂几何推导的最优路径。

避坑指南：- 二面角要求的是“正弦值”，计算出余弦后务必进行转化。 - 注意向量乘积的绝对值符号，直线夹角范围是 $[0,\frac{\pi }{2}]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间向量解决立体几何问题，特别是“二面角”和“异面直线角”的坐标计算。

结论推广：见详细解析。

方法推广：直角坐标系法。在直棱柱或含有垂直关系的图形中，建系是避开复杂几何推导的最优路径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-04 单-异面直线所成角
• 2013-上海卷文-10 填-异面直线所成角
• 2015-广东卷文-06 单-异面直线