2012-天津卷文-06 单-奇偶性与单调性

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及基本初等函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(文)） 下列函数中，既是偶函数，又在区间 $(1,2)$ 内是增函数的为()

A. $y=\cos 2x$，$x\in \mathbf{R}$　　　　　　　　　　　　　　B. $y={\log }_2|x|$，$x\in \mathbf{R}$ 且 $x\ne 0$

C. $y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$，$x\in \mathbf{R}$　　　　　　　　　　　　D. $y=x^3+1$，$x\in \mathbf{R}$

🔍【思路分析】

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$y={\log }_2|x|$ 为偶函数，且在 $(1,2)$ 内 $y={\log }_{2}x$ 递增，选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

(A) $y=\cos 2x$ 是偶函数，但它是周期函数，在 $(1,2)$ 内不单调；

(B) $f(-x)={\log }_2|-x|={\log }_2|x|=f(x)$，是偶函数；$x\in (1,2)$ 时 $f(x)={\log }_{2}x$ 递增，符合；

(C) $f(-x)=\frac{e^{-x}-e^x}{2}=-f(x)$，是奇函数，排除；

(D) $y=x^3+1$ 是非奇非偶函数，排除。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数奇偶性的定义判定；基本初等函数的单调性

核心方法：先用定义验奇偶性快速排除，再验指定区间上的单调性

避坑指南：$y=\cos 2x$ 虽为偶函数，但 $(1,2)$ 跨越它的单调区间分界，不能凭局部增减下结论；$\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ 是标准奇函数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇偶性与单调性双条件筛选题，与 2013 年天津卷文第 7 题、2015 年天津卷文第 7 题同族。

结论推广：判断 $f(-x)=\pm f(x)$ 前先看定义域是否关于原点对称；$|x|$ 型、$e^x\pm e^{-x}$ 型的奇偶性应熟记。

方法推广：双条件选择题用一票否决：先验易判条件快速排除，再验另一条件收口。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-07 单-偶函数不等式
• 2015-天津卷文-07 单-偶函数比大小
• 2013-北京卷文-03 单-偶函数减区间