2012-天津卷文-18 解-等差等比数列错位相减

本题导读

本题考查等差数列与等比数列的通项。核心在于错位相减法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(文)） 已知 $\{a_n\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$，$\{b_n\}$ 是等比数列，且 $a_1=b_1=2$，$a_4+b_4=27$，$S_4-b_4=10$.

(1)求数列 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 的通项公式；

(2)记 $T_n=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，证明：$T_n-8=a_{n-1}{b}_{n+1}$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，$n>2$）.

🔍【思路分析】

破题导航

解得 $a_n=3n-1$，$b_n=2^n$；$T_n=(3n-4)2^{n+1}+8$，故 $T_n-8=a_{n-1}{b}_{n+1}$。

✅【答案】

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(1)$a_n=3n-1$，$b_n=2^n$；(2)见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，$\{b_n\}$ 的公比为 $q$。则 $a_4=2+3d$，$b_4=2q^3$，$S_4=\frac{4(2+2+3d)}{2}=8+6d$。

由 $\{\begin{array}{l}{a}_4+b_4=27,\\ S_4-b_4=10\end{array}$ 得 $\{\begin{array}{l}3d+2q^3=25,\\ 6d-2q^3=2.\end{array}$ 两式相加得 $9d=27$，$d=3$；代回得 $2q^3=16$，$q=2$。

故 $a_n=3n-1$，$b_n=2^n$。

（2）$T_n=\sum _{k=1}^n(3k-1)2^k=3\sum _{k=1}^{n}k{2}^k-\sum _{k=1}^n{2}^k$。

令 $R=\sum _{k=1}^{n}k{2}^k$，则 $2R=\sum _{k=1}^{n}k{2}^{k+1}$，两式相减得 $R=n{2}^{n+1}-\left(2+2^2+\cdots +2^n\right)=n{2}^{n+1}-(2^{n+1}-2)=(n-1)2^{n+1}+2$。

于是 $T_n=3\left[(n-1)2^{n+1}+2\right]-(2^{n+1}-2)=(3n-4)2^{n+1}+8$。

又 $a_{n-1}=3(n-1)-1=3n-4$，$b_{n+1}=2^{n+1}$，故 $T_n-8=(3n-4)2^{n+1}=a_{n-1}{b}_{n+1}$，得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差、等比数列的基本量运算；错位相减法

核心方法：两组条件联立解公差与公比；差比数列用错位相减求和

避坑指南：$S_4-b_4=10$ 中 $S_4$ 是等差数列前 $4$ 项和、$b_4$ 是等比数列第 $4$ 项，两者别混；错位相减后剩余项为 $2+2^2+\cdots +2^n$ 与 $n{2}^{n+1}$，首末项处理易错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：差比数列求和标准题，与 2015 年天津卷文第 18 题、2014 年新课标Ⅰ文第 17 题同族。

结论推广：$\sum _{k=1}^{n}k{2}^k=(n-1)2^{n+1}+2$ 可作结论记忆；$T_n=c\sum k{q}^k+d\sum q^k$ 型一律错位相减。

方法推广：数列大题两段式：先基本量定通项，再按乘公比、错位、相减三步求和，最后核对首末项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2015-天津卷文-18 解-错位相减
• 2014-新课标I卷文-17 解-等差数列错位相减
• 2013-天津卷文-19 解-等比数列与不等式