2011-重庆卷文-16 解-等比等差分组求和

本题导读

本题考查等比数列的基本量，以及等差数列通项。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(文)） 设 $\{a_n\}$ 是公比为正数的等比数列，$a_1=2$，$a_3=a_2+4$.

(1)求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)设 $\{b_n\}$ 是首项为 $1$，公差为 $2$ 的等差数列. 求数列 $\{a_n+b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由 $a_3=a_2+4$ 解出 $q=2$ 得 $a_n=2^n$
2. 步骤2：$b_n=2n-1$
3. 步骤3：分组求和 $S_n=(2^{n+1}-2)+n^2$

✅【答案】

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(1) $a_n=2^n$

(2) $S_n=2^{n+1}+n^2-2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设公比为 $q$（$q>0$）。由 $a_1=2$，$a_3=a_2+4$，得 $2q^2=2q+4$，即 $q^2-q-2=0$，解得 $q=2$ 或 $q=-1$。 因为 $q>0$，所以 $q=2$，故 $a_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n$。 （2）$b_n=1+(n-1)\cdot 2=2n-1$，故 $a_n+b_n=2^n+2n-1$。 $S_n=(2^1+2^2+\cdots +2^n)+\left[1+3+\cdots +(2n-1)\right]$ $=\frac{2(1-2^n)}{1-2}+n^2=2^{n+1}-2+n^2$。 即 $S_n=2^{n+1}+n^2-2$。 （注：$n=1$ 时 $S_1=a_1+b_1=3=2^2+1-2$，验证成立。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列基本量方程（含 $q>0$ 的取舍）；等差数列通项；「等差 + 等比」分组求和。

核心方法：基本量法解 $q$ → 分组转化：等比部分用求和公式、等差部分用平方和公式 $\sum (2k-1)=n^2$。

避坑指南：本卷官方答案将 $S_n$ 印作 $2^n+n^2-2$，与 $n=1$ 时 $S_1=3$ 矛盾，系排版脱字，正确为 $2^{n+1}+n^2-2$；另外 $q=-1$ 的根必须以「公比为正」舍去，漏舍会写出错误的通项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：「等比基本量 + 与等差数列组合求和」是数列解答题的入门级组合，2011 湖北文 17、2012 天津文 18 为其加深版本。

结论推广：对 $\{c\cdot r^n+d\cdot n+e\}$ 型数列，前 $n$ 项和恒可拆成「等比块 + 等差块」，等差块只与 $n$ 的二次式有关。

方法推广：数列解答题首问用基本量法列方程；第二问先写通项再决定求和方法（分组 / 裂项 / 错位），本题两项结构独立，分组法一步到位。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2011-广东卷文-11 填-等比数列公比
• 2011-湖北卷文-17 解-等差等比数列
• 2012-天津卷文-18 解-等差等比数列错位相减