2012-天津卷理-01 单-复数除法

本题导读

本题考查复数的四则运算，以及复数除法的分母实数化。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(理)） $i$ 是虚数单位，复数 $\frac{7-i}{3+i}=$ ()

A. $2+i$　　　　B. $2-i$　　　　C. $-2+i$　　　　D. $-2-i$

🔍【思路分析】

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1. 结构观察：所求为两个复数的商，分母 $3+i$ 不是实数，需先化归。
2. 分母实数化：分子分母同乘分母的共轭复数 $3-i$，使分母变为实数 $3^2+1^2=10$。
3. 化简定号：利用 $i^2=-1$ 合并实部与虚部，再与四个选项比对。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分母实数化 分子分母同乘分母的共轭复数 $3-i$： $\frac{7-i}{3+i}=\frac{(7-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}=\frac{(7-i)(3-i)}{3^2+1^2}$

第二步：展开分子 $(7-i)(3-i)=21-7i-3i+i^2=21-10i-1=20-10i$

第三步：化为代数形式 $\frac{7-i}{3+i}=\frac{20-10i}{10}=2-i$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的四则运算，特别是除法运算与共轭复数的概念。

核心方法：分母实数化——分子分母同乘分母的共轭复数，把除法转化为乘法。

避坑指南：展开 $(7-i)(3-i)$ 时不要漏掉 $i^2=-1$ 这一项，否则会得到 $21-10i$ 而误选其他选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材中复数除法”分母实数化”的基本训练，与分式有理化一脉相承。

结论推广：一般地 $\frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)\mathrm{i}}{c^2+d^2}$，直接套用即可求出任意两个复数的商。

方法推广：“乘共轭”是处理复数商、复数模、复数方程的通用手段。

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