本题导读
本题考查椭圆顶点与焦点构成的三角形。核心在于坐标法的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2012年安徽卷(文)） 如图，， 分别是椭圆 （）的左、右焦点， 是椭圆 的顶点， 是直线 与椭圆 的另一个交点，.
(1) 求椭圆 的离心率；
(2) 已知 面积为 ，求 ， 的值.
!
🔍【思路分析】
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(1) 顶角 的等腰三角形中 ，；(2) 对应参数 ，，，，。
✅【答案】
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(1) ；(2) ，
✍【详细解析】
Abstract
(1) 为上顶点 （由图），， 为等腰三角形，顶角 。
取 中点，则 ，即 ，故 。
(2) 由 得 ，，。
直线 ：过 与 ，设 ，则线上点满足 。
代入椭圆：，即 ，解得 （点 ）或 。
故 。
，
代入坐标：。
令 ，得 ；又 ，故 ，。
所以 ，。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：椭圆焦点三角形（顶角与离心率 ）；直线与椭圆联立求交点；三角形面积（顶点坐标公式）
核心方法：(1) 等腰焦点三角形半角正弦定离心率；(2) 参数化直线求 点，面积用坐标行列式（或以 为底、 到直线 的距离为高）
避坑指南： 是上顶点时 中 ，半角正弦是 （不是 ）；求 时别把 （即 自身）当作另一个交点；面积式代入坐标后注意符号约简。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：椭圆焦点三角形与面积综合题，与 2012 年重庆卷文第 21 题、2012 年天津卷文第 19 题同族。
结论推广：椭圆上顶点与两焦点构成等腰三角形，顶角 满足 ；过顶点与焦点的直线与椭圆的另一交点可用参数 快速求出。
方法推广：椭圆大题三件套：几何条件 → 、 关系 → ；交点问题设参数或联立韦达；面积优先用”底 × 高”或坐标公式，最后统一回 解方程。
🔗【关联脉络】
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