2012-安徽卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的除法，以及共轭复数。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(理)） 复数 $z$ 满足 $(z-i)(2-i)=5$，则 $z=$ ()

A. $-2-2i$　　　　B. $-2+2i$　　　　C. $2-2i$　　　　D. $2+2i$

🔍【思路分析】

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1. 转化方程：将方程变形为 $z-i=\frac{5}{2-i}$。
2. 复数除法：利用分母实数化，将右侧的分式化简为代数形式 $a+bi$。
3. 求解 $z$：将常数项 $i$ 移项至右侧，合并同类项得出结果。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由已知条件 $(z-i)(2-i)=5$，可得： $z-i=\frac{5}{2-i}$

分子分母同时乘以分母的共轭复数 $(2+i)$： $z-i=\frac{5(2+i)}{(2-i)(2+i)}$ $z-i=\frac{5(2+i)}{2^2-i^2}$

由于 $i^2=-1$，则分母为 $4-(-1)=5$： $z-i=\frac{5(2+i)}{5}$ $z-i=2+i$

最后将左侧的 $-i$ 移项： $z=2+i+i=2+2i$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法的运算法则，即 $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}$。
2. 核心方法：分母实数化。复数代数形式的除法必须通过共轭复数将分母转化为实数。
3. 易错点：计算分母模方时，常误将 $2^2-i^2$ 计算为 $4-1=3$，应当牢记 $i^2=-1$ 带来的符号变化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论推广: 若 $(z-a-bi)(c+di)=k$，则 $z=\frac{k}{c+di}+a+bi$。
2. 方法推广: 对于较复杂的复数方程，通常先将含有 $z$ 的部分看作一个整体进行化简，再拆解出 $z$。
3. 题目推广: 若题目求的是 $\bar{z}$ 或 $|z|$，在求出 $z$ 后还需进行一步额外的共轭或模长运算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法
• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数
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