2012-山东卷文-15 填-指数函数最值与分类讨论

本题导读

本题考查指数函数的单调性与最值，以及幂函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(文)） 若函数 $f(x)=a^x$（$a>0$，且 $a\ne 1$）在 $[-1,2]$ 上的最大值为 $4$，最小值为 $m$，且函数 $g(x)=(1-4m)\sqrt{x}$ 在 $(0,+\infty )$ 上是增函数，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$g(x)=(1-4m)\sqrt{x}$ 在 $(0,+\infty )$ 上递增要求 $m<\frac{1}{4}$；分别讨论 $a>1$ 与 $0<a<1$，只有 $0<a<1$ 时 $m=a^2=\frac{1}{16}$ 合格，故 $a=\frac{1}{4}$。

✅【答案】

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$\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

先看 $g(x)=(1-4m)\sqrt{x}$：它在 $(0,+\infty )$ 上递增，故系数 $1-4m>0$，即 $m<\frac{1}{4}$。

再讨论 $f(x)=a^x$ 在 $[-1,2]$ 上的最值。

情形一：$a>1$ 时 $f$ 递增，最大值 $a^2=4$，得 $a=2$；最小值 $m=a^{-1}=\frac{1}{2}>\frac{1}{4}$，不符合 $m<\frac{1}{4}$，舍去。

情形二：$0<a<1$ 时 $f$ 递减，最大值 $a^{-1}=4$，得 $a=\frac{1}{4}$；最小值 $m=a^2=\frac{1}{16}<\frac{1}{4}$，符合要求。

故 $a=\frac{1}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数函数的单调性与最值；幂函数 $y=\sqrt{x}$ 的单调性；分类讨论

核心方法：由 $g$ 的单调性先得 $m$ 的范围，再对底数分类讨论求最值并检验

避坑指南：$g(x)=k\sqrt{x}$ 在 $(0,+\infty )$ 上递增的充要条件是 $k>0$；$a>1$ 时最大值是 $a^2$、最小值是 $a^{-1}$，$0<a<1$ 时恰好相反，别把两情形的最值搞混。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数函数最值与分类讨论题，与 2014 年山东卷理第 5 题、2013 年湖南卷理第 16 题同族。

结论推广：$y=a^x$ 在闭区间上：$a>1$ 时同向取最值，$0<a<1$ 时反向取最值；$y=k\sqrt{x}$ 递增 $\iff k>0$。

方法推广：含参数的指数最值题：先由附加条件锁定参数范围，再分底数两情形讨论并回代检验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷理-05 单-指数函数图象
• 2013-湖南卷理-16 填-指数函数、函数的单调性与零点