2012-山东卷文-16 填-圆的滚动与点的坐标

本题导读

本题考查圆的滚动，以及单位圆上点的坐标。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(文)） 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一单位圆的圆心的初始位置在 $(0,1)$，此时圆上一点 $P$ 的位置在 $(0,0)$，圆在 $x$ 轴上沿正向滚动. 当圆滚动到圆心位于 $(2,1)$ 时，$\overrightarrow{OP}$ 的坐标为$\underline{}$.

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🔍【思路分析】

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圆滚过的弧长为 $2$，故半径转过的角为 $2$；点 $P$ 的坐标为 $(2-\sin 2,1-\cos 2)$。

✅【答案】

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$(2-\sin 2,1-\cos 2)$

✍【详细解析】

Abstract

圆沿 $x$ 轴无滑动地滚动，圆心从 $(0,1)$ 移到 $(2,1)$ 时，圆滚过的弧长为 $2$，故半径顺时针转过的角为 $2$（弧度）。

初始时 $P$ 位于圆心正下方，即相对圆心的方向角为 $-\frac{\pi }{2}$；转动后方向角变为 $-\frac{\pi }{2}-2$。

故 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}$，其中 $C(2,1)$ 为圆心，而

$\overrightarrow{CP}=\left(\cos \left(-\frac{\pi }{2}-2\right),\sin \left(-\frac{\pi }{2}-2\right)\right)=(-\sin 2,-\cos 2)$。

所以 $\overrightarrow{OP}=(2-\sin 2,1-\cos 2)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的滚动（旋轮线）；单位圆上点的坐标与三角函数的定义；向量加法

核心方法：用弧长除以半径得转角，再把 $\overrightarrow{OP}$ 拆成圆心向量加圆内半径向量

避坑指南：转角等于滚过的弧长（单位圆半径 $1$），数值恰好是 $2$；$\cos \left(-\frac{\pi }{2}-\theta \right)=-\sin \theta$、$\sin \left(-\frac{\pi }{2}-\theta \right)=-\cos \theta$，符号别弄反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的滚动与三角函数定义题，与 2014 年大纲卷文第 2 题、2013 年广东卷文第 4 题同族。

结论推广：单位圆沿 $x$ 轴滚动距离 $t$ 时，圆上原在 $(0,0)$ 的点坐标为 $(t-\sin t,1-\cos t)$（旋轮线）。

方法推广：滚动问题两步：由弧长求转角 → 把目标向量分解为”圆心位置 + 半径方向向量”再算坐标。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-02 单-三角函数定义
• 2013-广东卷文-04 单-诱导公式求值