2012-广东卷理-20 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与离心率。核心在于变量代换法、待定系数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(理)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率 $e=\sqrt{\frac{2}{3}}$，且椭圆 $C$ 上的点到点 $Q(0,2)$ 的距离的最大值为 3.

(1)求椭圆 $C$ 的方程；

(2)在椭圆 $C$ 上，是否存在点 $M(m,n)$，使得直线 $l:mx+ny=1$ 与圆 $O:x^2+y^2=1$ 相交于不同的两点 $A,B$，且 $△OAB$ 的面积最大？若存在，求出点 $M$ 的坐标及相对应的 $△OAB$ 的面积；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问根据离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{2}{3}}$ 结合 $a^2=b^2+c^2$ 得到 $a^2=3b^2$。设椭圆上动点为 $P(x,y)$，将距离平方表达为关于 $y$ 的二次函数，结合定义域 $-b\le y\le b$ 进行二次函数对称轴与区间的分类讨论，由最大值为 3 锁定 $b=1$。
2. 第二问求 $△OAB$ 面积的最值，因为 $OA=OB=1$ 为圆的半径，所以 $S_{△OAB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB\sin \angle AOB=\frac{1}{2}\sin \angle AOB$。当 $\angle AOB=90^{\circ }$ 时面积取得最大值 $\frac{1}{2}$。
3. 此时 $△OAB$ 为等腰直角三角形，圆心到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{\sqrt{2}}{2}$。利用点到直线距离公式构建关于 $m,n$ 的方程 $m^2+n^2=2$，与点 $M$ 在椭圆上的方程 $\frac{m^2}{3}+n^2=1$ 联立成方程组求解。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{3}+y^2=1$

(2) 存在，$M\left(\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$、$\left(-\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$、$\left(\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$、$\left(-\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，$△OAB$ 的最大面积为 $\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求椭圆 $C$ 的方程

因为 椭圆的离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{2}{3}}⟹\frac{c^2}{a^2}=\frac{2}{3}$， 且 $a^2=b^2+c^2$， 所以 $\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{2}{3}⟹1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{2}{3}⟹a^2=3b^2$。 此时椭圆 $C$ 的方程可写为： $x^2+3y^2=3b^2$。

设 $P(x,y)$ 为椭圆 $C$ 上的任意一点，则其纵坐标满足 $-b\le y\le b$。 点 $P$ 到点 $Q(0,2)$ 的距离平方满足： $d^2=x^2+(y-2{)}^2$ 将 $x^2=3b^2-3y^2$ 代入上式中，消去变量 $x$： $d^2=3b^2-3y^2+y^2-4y+4=-2y^2-4y+4+3b^2$ 对该关于 $y$ 的二次函数进行配方： $d^2=-2(y+1{)}^2+6+3b^2(-b\le y\le b)$ 该二次轴对称线为 $y=-1$。由于区间边界 $b$ 受到 $a>b>0⟹3b^2>b^2$ 约束，需对顶点的相对位置分情况讨论：

• 当 $-b\le -1$ 即 $b\ge 1$ 时： 顶点 $y=-1$ 落在定义域区间内，故当 $y=-1$ 时， $d^2$ 取得最大值： $d_{\text{max}}^2=6+3b^2$ 因为已知距离最大值为 $3⟹d_{\text{max}}^2=9$， 所以 $6+3b^2=9⟹3b^2=3⟹b=1$（符合 $b\ge 1$）。

• 当 $-b>-1$ 即 $0<b<1$ 时： 顶点 $y=-1$ 在区间的左侧，二次函数在 $[-b,b]$ 上单调递减，故当 $y=-b$ 时取得最大值： $d_{\text{max}}^2=-2(-b{)}^2-4(-b)+4+3b^2=b^2+4b+4=(b+2{)}^2$ 所以 $(b+2{)}^2=9⟹b+2=3⟹b=1$（与前提 $b<1$ 矛盾，舍去）。

综上所述， $b=1$，则 $a^2=3b^2=3$。 所以，椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{3}+y^2=1$。

（2）探究满足条件的点 $M$ 是否存在

假设存在点 $M(m,n)$ 满足题意。因为点 $M$ 在椭圆 $C$ 上，所以满足： $\frac{m^2}{3}+n^2=1\text{(1)}$

直线 $l:mx+ny-1=0$ 与圆 $O:x^2+y^2=1$ 相交于 $A,B$ 两点。 在 $△OAB$ 中， $OA=OB=1$ 均为圆的半径。 根据三角形面积公式： $S_{△OAB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot \sin \angle AOB=\frac{1}{2}\sin \angle AOB$

因为 $\sin \angle AOB\le 1$， 所以 当且仅当 $\angle AOB=90^{\circ }$ 时， $△OAB$ 的面积取得最大值，最大面积为： $S_{\text{max}}=\frac{1}{2}$

此时， $△OAB$ 是斜边为 $AB$ 的等腰直角三角形。圆心 $O(0,0)$ 到直线 $l$ 的距离 $d$ 刚好等于斜边上中线的长度： $d=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

根据点到直线的距离公式，圆心 $(0,0)$ 到直线 $mx+ny-1=0$ 的距离为： $d=\frac{|m\cdot 0+n\cdot 0-1|}{\sqrt{m^2+n^2}}=\frac{1}{\sqrt{m^2+n^2}}$ 所以： $\frac{1}{\sqrt{m^2+n^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹m^2+n^2=2\text{(2)}$

联立①式与②式构成方程组： $\{\begin{array}{l}\frac{m^2}{3}+n^2=1\\ m^2+n^2=2\end{array}$

由②式减去①式消去变量 $n^2$： $\left(1-\frac{1}{3}\right)m^2=1⟹\frac{2}{3}{m}^2=1⟹m^2=\frac{3}{2}$

将 $m^2=\frac{3}{2}$ 代入②式中： $\frac{3}{2}+n^2=2⟹n^2=\frac{1}{2}$

对 $m,n$ 分别开平方，由正负对偶组合可得 4 组独立的坐标解： $m=\pm \frac{\sqrt{6}}{2},n=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

经检验，此时圆心到直线的距离 $d=\frac{\sqrt{2}}{2}<1$（半径），直线与圆必然相交于不同的两点，完全符合题意。

所以，存在满足条件的点 $M$，其坐标为 $\left(\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$、 $\left(-\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$、 $\left(\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$、 $\left(-\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，相对应的 $△OAB$ 的最大面积为 $\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由离心率及动点距离最值锁定椭圆方程、利用圆的三角面积公式转化几何最值。
2. 核心方法：几何最值等价转化法。在处理直线与圆相交构成的等腰三角形面积时，直接通过 $S=\frac{1}{2}{R}^2\sin \theta \le \frac{1}{2}{R}^2$ 锁定直角临界态，从而规避了极其繁琐的弦长公式与距离公式的代数乘积运算。
3. 避坑指南：

• 第一问属于经典的二次函数区间最值讨论。由于二次项系数为负数（$-2$），图象开口向下，最大值点可能在顶点或边界取得。必须严格进行关于 $b$ 范围的分类讨论，直接默认中心在内部会造成逻辑扣分。
• 第二问求出 $m^2,n^2$ 后开方时，由于组合数是对偶非相关的，必须穷尽全部 $2\times 2=4$ 种正负号组合，避免漏掉其它象限的坐标。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》中关于椭圆与圆综合交汇的常规压轴解答题。
2. 结论推广：对于任意直角坐标系下形式为 $mx+ny=1$ 的直线，其在对偶空间中表示圆的对偶极线。由其几何特征推广：圆内接三角形面积最大时必为等腰直角或正三角形。通过将面积最大化条件翻译为圆心到直线的特征距离方程 $m^2+n^2=\frac{1}{d^2}$，可以与任何二次曲线的标准方程实现无缝联立。

🔗【关联脉络】

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