2012-新课标卷理-15 填-正态分布与概率

本题导读

本题考查正态分布与独立事件的概率，以及对立事件。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(理)）

某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件 $1$ 或元件 $2$ 正常工作，且元件 $3$ 正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 $N(1000,50^2)$，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过 $1000$ 小时的概率为

🔍【思路分析】

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1. 元件寿命服从 $N(1000,50^2)$，超过 $1000$ 小时的概率为 $\frac{1}{2}$。

2. 元件 $1,2$ 并联再与 $3$ 串联。

3. 用独立事件求正常工作的概率。

✅【答案】

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$\frac{3}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

每个元件寿命超过 $1000$ 小时的概率 $P(X>1000)=\frac{1}{2}$（正态分布关于均值对称）。

元件 $1$、$2$ 并联：至少一个正常工作，概率 $=1-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{4}$。

与元件 $3$ 串联：部件正常概率 $=\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{8}$。

故答案为 $\frac{3}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正态分布

核心方法：相互独立事件

避坑指南：对立事件

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于概率中的正态分布

结论推广：可推广到串并联电路的可靠性

方法推广：正态分布关于均值 $\mu$ 对称，$P(X>\mu )=\frac{1}{2}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.05 正态分布

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I理-20 解-相互独立事件的概率

• 2005-全国卷II理-19 解-离散型随机变量的概率分布

• 2005-全国卷III理-17 解-相互独立事件的概率乘法公式