2012-江苏卷-03 填-复数除法运算

本题导读

本题考查复数的除法运算，以及复数相等的条件。

📌【题干】

Question

（2012年江苏卷） 设 $a,b\in \mathbf{R}$，$a+b\mathrm{i}=\frac{11-7\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}$（$\mathrm{i}$ 为虚数单位），则 $a+b$ 的值为　　.

🔍【思路分析】

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分母实数化得 $\frac{25+15\mathrm{i}}{5}=5+3\mathrm{i}$，故 $a=5$，$b=3$，$a+b=8$。

✅【答案】

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$8$

✍【详细解析】

Abstract

将分式的分子、分母同乘以分母的共轭复数 $1+2\mathrm{i}$，得

$\frac{11-7\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}=\frac{(11-7\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})}{(1-2\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})}=\frac{25+15\mathrm{i}}{5}=5+3\mathrm{i}$。

比较实部和虚部，得 $a=5$，$b=3$，所以 $a+b=8$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数除法（分母实数化）；复数相等则实部虚部分别相等

核心方法：乘共轭复数把分母化为实数，再按实部、虚部分别读出 $a$、$b$

避坑指南：分子展开 $(11-7\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})=11+22\mathrm{i}-7\mathrm{i}-14{\mathrm{i}}^2=25+15\mathrm{i}$，注意 $-7\mathrm{i}\times 2\mathrm{i}=-14{\mathrm{i}}^2=+14$ 这一项不要漏掉符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数除法与求实部虚部之和题，与 2012 年安徽卷文第 1 题、2012 年山东卷文第 1 题同族。

结论推广：$\frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}}=\frac{(a+b\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})}{c^2+d^2}$；除法的结果可先估模长核对（本题分子模 $\sqrt{170}$、分母模 $\sqrt{5}$，商模 $\sqrt{34}=|5+3\mathrm{i}|$）。

方法推广：复数除法固定套路：上下同乘分母共轭 → 分母变实数 → 分别展开合并 → 按复数相等读参数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-01 填-复数除法运算
• 2012-天津卷文-01 单-复数除法运算
• 2012-安徽卷文-01 单-复数除法运算