2012-安徽卷文-01 单-复数除法运算

本题导读

本题考查复数的除法运算，以及复数相等。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(文)） 复数 $z$ 满足 $(z-\mathrm{i})\mathrm{i}=2+\mathrm{i}$，则 $z=$()

A. $-1-\mathrm{i}$　　　　　B. $1-\mathrm{i}$　　　　　C. $-1+3\mathrm{i}$　　　　　D. $1-2\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

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$z-\mathrm{i}=\frac{2+\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=1-2\mathrm{i}$，故 $z=1-\mathrm{i}$，选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$(z-\mathrm{i})\mathrm{i}=2+\mathrm{i}$，两边同除以 $\mathrm{i}$：$z-\mathrm{i}=\frac{2+\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=\frac{(2+\mathrm{i})(-\mathrm{i})}{1}=-2\mathrm{i}-{\mathrm{i}}^2=1-2\mathrm{i}$。

故 $z=1-2\mathrm{i}+\mathrm{i}=1-\mathrm{i}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数除法（乘 $\mathrm{i}$ 的逆运算）；$\frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$

核心方法：先移项除以 $\mathrm{i}$，利用 $\frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$ 化简，再加 $\mathrm{i}$ 得 $z$

避坑指南：$\frac{2+\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=(2+\mathrm{i})(-\mathrm{i})=1-2\mathrm{i}$，符号错一步就会选 (A) 或 (D)；最后别忘了把右边的 $\mathrm{i}$ 移回来（加 $\mathrm{i}$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数四则运算题，与 2012 年山东卷文第 1 题、2012 年天津卷文第 1 题同族。

结论推广：$\frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$，$\frac{1}{-\mathrm{i}}=\mathrm{i}$；解方程 $(z-a)b=c$ 型复数方程与实数方程同法，注意除数非零。

方法推广：复数方程按”移项—除系数—化简”走，遇到乘除 $\mathrm{i}$ 直接用 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 与 $\frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$ 秒化为实部虚部。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2012-山东卷文-01 单-复数除法运算
• 2012-天津卷文-01 单-复数除法运算
• 2012-江西卷文-01 单-共轭复数与复数运算