2012-江西卷理-05 单-命题真假

本题导读

本题考查命题的真假判定，以及复数的代数运算与共轭复数。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(理)） 下列命题中，假命题为 ()

A. 存在四边相等的四边形不是正方形

B. $z_1,z_2\in \mathbf{C}$, $z_1+z_2$ 为实数的充分必要条件是 $z_1,z_2$ 互为共轭复数

C. 若 $x,y\in \mathbf{R}$，且 $x+y>2$，则 $x,y$ 至少有一个大于 1

D. 对于任意 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$, ${\text{C}}_n^0+{\text{C}}_n^1+\cdots +{\text{C}}_n^n$ 都是偶数

🔍【思路分析】

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1. 逐项分析各命题的真假性。
2. 选项 (A)：考查特称命题。只需举出一个“四边相等但不是正方形”的几何图形（如普通的菱形）即可判定其为真。
3. 选项 (B)：考查充要条件。分别从充分性（互为共轭 $⟹$ 和为实数）和必要性（和为实数 $⟹$ 互为共轭）两个方向进行代数推导或寻找反例。
4. 选项 (C)：考查全称逻辑推理。可用反证法思维判定，若“ $x,y$ 均不大于 1”，则 $x\le 1,y\le 1⟹x+y\le 2$，与已知相矛盾，以此判定真假。
5. 选项 (D)：根据组合数的基本性质，二项式系数的和公式为 ${\text{C}}_n^0+{\text{C}}_n^1+\cdots +{\text{C}}_n^n=2^n$。当 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$ 时，分析 $2^n$ 的奇偶性。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

• 对于 (A)： “四边相等的四边形”是菱形的定义。菱形只有当内角为 $90^{\circ }$ 时才是正方形。普通的菱形（如内角为 $60^{\circ }$ 的菱形）四边相等但绝不是正方形。因此，确实“存在”这样的四边形，该命题为真命题。

• 对于 (B)：

• 充分性：若 $z_1,z_2$ 互为共轭复数，设 $z_1=a+bi$，则 $z_2=a-bi(a,b\in \mathbf{R})$。其和 $z_1+z_2=2a\in \mathbf{R}$。充分性成立。

• 必要性：若 $z_1+z_2$ 为实数，举出反例：令 $z_1=1+2i$, $z_2=2-2i$。此时 $z_1+z_2=3\in \mathbf{R}$，但显然 $z_1$ 与 $z_2$ 并不互为共轭复数（ $z_1$ 的共轭复数应为 $1-2i$）。必要性不成立。 因此，“互为共轭复数”只是“和为实数”的充分不必要条件，该命题为假命题。

• 对于 (C)： 利用反证法逻辑。若该命题的结论不成立，即 $x,y$ 没有一个大于 1，则有 $x\le 1$ 且 $y\le 1$。 两同向不等式相加得： $x+y\le 1+1=2$。 这与已知条件 $x+y>2$ 产生刚性矛盾。故原命题为真命题。

• 对于 (D)： 根据组合数的性质与二项式定理，二项式系数的总和满足公式： ${\text{C}}_n^0+{\text{C}}_n^1+\cdots +{\text{C}}_n^n=2^n$ 因为 已知 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$（即 $n\ge 1$ 且 $n\in \mathbf{Z}$）， 所以 $2^n$ 必然含有因数 2，其值必为偶数（如 $2,4,8,\cdots$）。该命题为真命题。

故选 B#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：共轭复数运算特征、充要条件的方向判定、二项式系数求和模型。
2. 核心方法：特殊反例反驳法。在判定必要性或全称命题为假时，构造一组结构极简的特例（如本题中和为实数但非共轭的 $z_1,z_2$）是最直接高效的手段。
3. 避坑指南：

• 容易想当然地认为复数相加要消去虚部，虚部就必须互为相反数，从而误判 (B) 为真。要认识到实部并不受共轭限制（本题反例中实部分别为 1 和 2 同样能消去虚部）。
• 选项 (D) 必须看清 $n$ 的取值集合。若 $n=0$，则 $2^0=1$ 为奇数；但题干限定了 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$，故 $2^n$ 恒为偶数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第六章《计数原理》及选择性必修第二册第二章《复数》中关于基础概念辨析的综合高考改造型选择题。
2. 结论推广：在复数域 $\mathbf{C}$ 中，两复数 $z_1,z_2$ 的和与积同时为实数（ $z_1+z_2\in \mathbf{R}$ 且 $z_1\cdot z_2\in \mathbf{R}$ ），才是 $z_1,z_2$ 互为共轭复数的充分必要条件。若仅有和为实数，虚部互为相反数即可，实部互不约束。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

• 12.01 数系的扩充与复数 类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算

• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义

• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法