2012-浙江卷文-06 单-三角函数图象变换

本题导读

本题考查函数图象的伸缩变换，以及函数图象的平移变换。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(文)） 把函数 $y=\cos 2x+1$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），然后向左平移 $1$ 个单位长度，再向下平移 $1$ 个单位长度，得到的图象是()

A. 　　　　　　　　　B. 　　　　　　　　　C. 　　　　　　　　　D.

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🔍【思路分析】

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变换后为 $y=\cos (x+1)$，其零点在 $x=\frac{\pi }{2}-1$ 与 $x=\frac{3\pi }{2}-1$ 处，与 A 图横轴标记一致。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

横坐标伸长到原来的 $2$ 倍：$y=\cos 2x+1$ 变为 $y=\cos x+1$。

向左平移 $1$ 个单位：$y=\cos (x+1)+1$。

向下平移 $1$ 个单位：$y=\cos (x+1)$。

由 $\cos (x+1)=0$ 得 $x=\frac{\pi }{2}-1+k\pi$，即图象与 $x$ 轴交于 $\frac{\pi }{2}-1$，$\frac{3\pi }{2}-1$ 等处，与 A 图横轴的标记 $\frac{\pi }{2}-1$、$\frac{3\pi }{2}-1$ 一致。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数图象的伸缩与平移变换

核心方法：每步只改解析式的一处：伸长改自变量系数，平移在整体（或自变量）上加减，最后用零点校验

避坑指南：向左平移 $1$ 个单位是把 $x$ 换成 $x+1$，作用在”伸长后的自变量”上，得 $\cos (x+1)$ 而非 $\cos x+1$；平移量是 $1$ 而不是周期的某个倍数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：图象变换选择题，与 2013 年北京卷理第 5 题、2013 年山东卷理第 5 题同族。

结论推广：$y=f(\omega x)$ 横坐标伸长到原来的 $\frac{1}{\omega }$ 倍得 $y=f(x)$；$y=f(x)$ 左移 $\phi$ 得 $y=f(x+\phi )$。

方法推广：多步图象变换题：先逐步写出解析式，再用特殊点（零点、最值点）与选项图轴标记对照。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-05 单-函数的图象变换
• 2013-山东卷理-05 单-图象变换
• 2013-新课标II卷文-16 填-三角函数图象平移