2012-湖南卷文-01 单-集合的交集运算

本题导读

本题考查集合的表示与一元二次方程的解集，以及集合的交集运算。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(文)） 设集合 $M=\{-1,0,1\}$，$N=\{x\mid x^2=x\}$，则 $M\cap N=$()

A. $\{-1,0,1\}$　　　　　　B. $\{0,1\}$　　　　　　C. $\{1\}$　　　　　　D. $\{0\}$

🔍【思路分析】

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由 $x^2=x$ 得 $N=\{0,1\}$，故 $M\cap N=\{0,1\}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $x^2=x$ 得 $x(x-1)=0$，即 $x=0$ 或 $x=1$，所以 $N=\{0,1\}$。

于是 $M\cap N=\{-1,0,1\}\cap \{0,1\}=\{0,1\}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：用描述法表示的集合先化简再运算；交集取公共元素

核心方法：解一元二次方程求出 $N$ 的元素，再按交集定义取公共元素

避坑指南：描述法集合要先”解出来”：$x^2=x$ 的解是 $0$ 和 $1$（不要漏掉 $x=0$）；$-1$ 不在 $N$ 中，故 $M\cap N$ 不是 $M$ 本身。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合交集运算入口题，与 2013 年山东卷文第 2 题、2014 年新课标Ⅰ理第 1 题同族。

结论推广：$x^2=x⟺x=0$ 或 $x=1$；含参数方程 $x^2=ax$ 的解集要讨论 $a$ 的取值。

方法推广：集合小题先把描述法化为列举法，元素一目了然后再做交、并、补运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷理-02 单-集合的补集与交集
• 2014-新课标I卷理-01 单-交集及其运算
• 2013-山东卷文-02 单-集合补集交集