2013-山东卷文-02 单-集合补集交集

本题导读

本题考查集合的补集运算，以及集合的交集运算。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(文)） 已知集合 $A$，$B$ 均为全集 $U=\{1,2,3,4\}$ 的子集，且 ${\complement }_U(A\cup B)=\{4\}$，$B=\{1,2\}$，则 $A\cap {\complement }_{U}B=$()

A. $\{3\}$　　　　　　　B. $\{4\}$　　　　　　　C. $\{3,4\}$　　　　　　　D. $\varnothing$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $A\cup B=\{1,2,3\}$；${\complement }_{U}B=\{3,4\}$。
2. $3\in A\cup B$ 且 $3\notin B$ → $3\in A$；$4\notin A\cup B$ → $4\notin A$。故 $A\cap {\complement }_{U}B=\{3\}$。

✅【答案】

点击查看答案

（A）

✍【详细解析】

Abstract

由 ${\complement }_U(A\cup B)=\{4\}$，得 $A\cup B=U\setminus \{4\}=\{1,2,3\}$。 又 $B=\{1,2\}$，故 ${\complement }_{U}B=\{3,4\}$。 由 $3\in A\cup B$ 且 $3\notin B$，知 $3\in A$；由 $4\notin A\cup B$，知 $4\notin A$。 于是 $A\cap {\complement }_{U}B=\{3\}.$ 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：补集与交集的混合运算

核心方法：${\complement }_U(A\cup B)=\{4\}$ 给出 $A\cup B=\{1,2,3\}$；$B=\{1,2\}$ 定 $A$ 必含 $3$ 不含 $4$

避坑指南：由 ${\complement }_U(A\cup B)$ 先还原 $A\cup B$，再看 ${\complement }_{U}B=\{3,4\}$：$A$ 中必有 $3$、必无 $4$，于是 $A\cap {\complement }_{U}B=\{3\}$——不还原并集直接猜 $A$ 是常见错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合的交、并、补混合运算（全国卷首题高频）。

结论推广：${\complement }_U(A\cup B)=\{4\}⟺A\cup B=\{1,2,3\}$；${\complement }_{U}B=\{3,4\}$；$A\cap {\complement }_{U}B$ 取同时属于两者的元素。

方法推广：交并补混合三步：由补集条件还原并集 → 确定每个集合的元素范围 → 逐元素检验交集。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-01 单-集合补集
• 2014-山东卷文-02 单-集合交集