2012-湖南卷文-05 单-回归直线概念

本题导读

本题考查回归直线方程的意义，以及回归分析的基本概念。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(文)） 设某大学的女生体重 $y$（单位：kg）与身高 $x$（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据 $(x_i,y_i)$（$i=1,2,\cdots ,n$），用最小二乘法建立的回归方程为 $\hat{y}=0.85x-85.71$，则下列结论中不正确的是()

A. $y$ 与 $x$ 具有正的线性相关关系

B. 回归直线过样本点的中心 $(\bar{x},\bar{y})$

C. 若该大学某女生身高增加 $1$ cm，则其体重约增加 $0.85$ kg

D. 若该大学某女生身高为 $170$ cm，则可断定其体重必为 $58.79$ kg

🔍【思路分析】

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回归方程只能作预测，不能”断定”，D 的说法错误，选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

回归系数 $0.85>0$，故 $y$ 与 $x$ 正相关，A 正确；回归直线必过样本点的中心 $(\bar{x},\bar{y})$，B 正确；回归系数的含义是 $x$ 每增加 $1$ 个单位，$y$ 平均增加 $0.85$ 个单位，C 正确；把 $x=170$ 代入得 $\hat{y}=0.85\times 170-85.71=58.79$，这只是预测值，回归方程不能对个体作确定性断定，D 错误。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正相关与回归系数的符号；回归直线过样本点中心；回归值是预测值而非确定值

核心方法：读回归方程的两个要素：斜率（相关方向与增幅）、截距，再逐一检验选项

避坑指南：“约增加”与”必为”一字之差：回归方程给的是平均意义的预测，对个体不能断定；$170$ 代入得 $58.79$ 没错，错在”断定必为”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：回归分析概念题，与 2012 年福建卷文第 18 题、2026 年天津卷第 3 题同族。

结论推广：$\hat{y}=b\hat{x}+a$ 恒过 $(\bar{x},\bar{y})$；$b>0$ 正相关、$b<0$ 负相关。

方法推广：回归概念题紧扣三句话：系数定方向、过样本中心、预测非断定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练 (Links)

• 2012-福建卷文-18 解-回归直线与利润最值
• 2026-天津卷-03 单-线性相关关系