2012-湖南卷文-10 填-极坐标方程交点

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标互化，以及极轴上的点。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(文)） （选修 4-4：坐标系与参数方程）

在极坐标系中，曲线 $C_1:\rho \left(\sqrt{2}\cos \theta +\sin \theta \right)=1$ 与曲线 $C_2:\rho =a$（$a>0$）的一个交点在极轴上，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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交点在极轴上即 $\theta =0$，代入 $C_1$ 得 $\rho =\frac{\sqrt{2}}{2}$，故 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

✅【答案】

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$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

极轴上的点满足 $\theta =0$（$\rho >0$）。代入 $C_1$：$\rho \left(\sqrt{2}\cos 0+\sin 0\right)=\sqrt{2}\rho =1$，得 $\rho =\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

该点也在 $C_2:\rho =a$ 上，且 $a>0$，故 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极轴（$\theta =0$）上点的坐标特征；极坐标方程的求值

核心方法：抓住”交点在极轴上”这一条件，固定 $\theta =0$ 直接解出 $\rho$

避坑指南：极轴上的点含正负两个方向（$\theta =0$ 或 $\pi$），但 $C_2$ 要求 $\rho =a>0$，故只能取 $\theta =0$；不要把 $a$ 写成 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的倒数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极坐标求参题，与 2013 年广东卷文第 14 题、2015 年广东卷文第 14 题同族。

结论推广：曲线 $\rho =a$（$a>0$）是以极点为圆心、半径 $a$ 的圆；与极轴的交点为 $(a,0)$。

方法推广：极坐标问题先问”点的位置有什么特殊限制”，本题的限制（极轴上）直接把双变量降为单变量。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-14 填-极坐标化参数方程
• 2015-广东卷文-14 填-极坐标参数方程
• 2013-上海卷理-07 填-极坐标方程的几何意义