2012-湖南卷文-12 填-一元二次不等式解集

本题导读

本题考查一元二次不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(文)） 不等式 $x^2-5x+6⩽0$ 的解集为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)⩽0$，解集为 $[2,3]$。

✅【答案】

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$\{x\mid 2⩽x⩽3\}$（即 $[2,3]$）

✍【详细解析】

Abstract

方程 $x^2-5x+6=0$ 的两根为 $x=2$ 与 $x=3$，故 $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$。

要求 $(x-2)(x-3)⩽0$，抛物线开口向上，解在两根之间（含端点）：$2⩽x⩽3$。

所以解集为 $\{x\mid 2⩽x⩽3\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次三项式的因式分解；二次不等式与图象的对应关系

核心方法：先求根再定区间，开口向上取两根之间

避坑指南：不等号带等号，端点 $2$ 和 $3$ 要包含在解集内；解集写成集合或区间形式，别只写"$2⩽x⩽3$"漏掉大括号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：一元二次不等式入口题，与 2013 年广东卷理第 9 题、2013 年安徽卷理第 17 题同族。

结论推广：$a>0$ 时 $a{x}^2+bx+c⩽0$ 的解集为两根之间的闭区间（$\Delta >0$）。

方法推广：二次不等式一律”求根 — 看开口 — 定区间”三步，不要跳步。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-09 填-一元二次不等式
• 2013-安徽卷理-17 解-一元二次不等式
• 2025-天津卷-15 填-一元二次不等式恒成立