2009-天津卷文-16 填-二次不等式整数解

本题导读

压轴填空。$\sqrt{a}<2$ 时解集为 $\left(\frac{1}{2+\sqrt{a}},\frac{1}{2-\sqrt{a}}\right)$，恰含整数 $1,2,3$：$3<\frac{1}{2-\sqrt{a}}⩽4$，解得 $\frac{25}{9}<a⩽\frac{49}{16}$。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(文)） 若关于 $x$ 的不等式 $(2x-1{)}^2<a{x}^2$ 的解集中的整数恰好有 $3$ 个，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由题意 $a>0$。原式等价于 $|2x-1|<\sqrt{a}|x|$。
2. 令 $t=\sqrt{a}$，$0<t<2$（$t⩾2$ 时解集右侧无界，整数有无穷多个）。解得 $x\in \left(\frac{1}{2+t},\frac{1}{2-t}\right)$，左端 $\in \left(0,\frac{1}{4}\right)$。
3. 恰含 $3$ 个整数 $⟺3<\frac{1}{2-t}⩽4⟺\frac{1}{4}⩽2-t<\frac{1}{3}⟺\frac{5}{3}<t⩽\frac{7}{4}$。
4. 平方：$\frac{25}{9}<a⩽\frac{49}{16}$。

✅【答案】

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$\left(\frac{25}{9},\frac{49}{16}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

由题意 $a>0$（若 $a⩽0$，解集不可能恰含三个正整数），原不等式等价于 $|2x-1|<\sqrt{a}|x|$。 设 $t=\sqrt{a}$。当 $0<t<2$ 时解得 $\frac{1}{2+t}<x<\frac{1}{2-t}.$ 左端点 $\frac{1}{2+t}\in \left(0,\frac{1}{4}\right)$，故解集中不含整数 $0$ 与负整数；若 $t⩾2$，解集在右侧无界，整数有无穷多个，不合题意。 故解集中的整数恰为 $1,2,3$，充要条件是 $3<\frac{1}{2-t}⩽4,$ 即 $\frac{1}{4}⩽2-t<\frac{1}{3}$，得 $\frac{5}{3}<t⩽\frac{7}{4}$。 代回 $t=\sqrt{a}$，得 $a$ 的取值范围为 $\left(\frac{25}{9},\frac{49}{16}\right]$。 （注：$a=\frac{49}{16}$ 时解集为 $\left(\frac{4}{15},4\right)$，整数 $1,2,3$ 恰 $3$ 个，右端点可取。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参数的一元二次不等式与整数解

核心方法：开方去绝对值 + 区间端点控制整数个数

避坑指南：三个整数是 $1,2,3$：解集左端 $\in (0,\frac{1}{4})$ 不含 $0$；右端要 $>3$ 且 $⩽4$，端点 $4$ 恰好可取（$x<4$ 严格），右闭左开。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：整数解个数问题是二次不等式压轴填空。

结论推广：$(2x-1{)}^2<a{x}^2⟺|2x-1|<\sqrt{a}|x|$，设 $t=\sqrt{a}$ 分类。

方法推广：$t⩾2$ 时解集无界先排除；条件 $3<\frac{1}{2-t}⩽4$ 化为对 $t$ 的线性夹逼。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2012-湖南卷文-12 填-一元二次不等式解集
• 2012-江苏卷-13 填-二次函数值域与解集
• 2011-广东卷文-05 单-二次不等式解集