2011-广东卷文-05 单-二次不等式解集

本题导读

本题考查一元二次不等式，以及因式分解。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(文)） 不等式 $2x^2-x-1>0$ 的解集是 ()

A. $\left(-\frac{1}{2},1\right)$　　B. $(1,+\infty )$　　C. $(-\infty ,1)\cup (2,+\infty )$　　D. $\left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right)\cup (1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：因式分解 $(2x+1)(x-1)>0$
2. 步骤2：开口向上取两根之外

✅【答案】

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D$\left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right)\cup (1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

$2x^2-x-1=(2x+1)(x-1)$，两根为 $x=-\frac{1}{2}$ 与 $x=1$。

抛物线开口向上，$2x^2-x-1>0$ 的解在两根之外：$x<-\frac{1}{2}$ 或 $x>1$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次三项式的因式分解；二次不等式解集的区间结构

核心方法：十字相乘分解，开口方向定”两根之间”还是”两根之外”

避坑指南：分解系数 $2\times (-1)$ 的十字组合是 $(2x+1)(x-1)$，写成 $(x-1)(2x+1)$ 之外的形式（如 $(2x-1)(x+1)$）会得到错误的根；“大于取两边”适用于开口向上，开口向下要先变号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二次不等式题与 2012-湖南卷文-12、2013-广东卷理-09、2015-广东卷文-11 同族。

结论推广：推广：$a{x}^2+bx+c>0$（$a>0$）在 $\Delta >0$ 时解集为两根之外，$\Delta ⩽0$ 时结合开口与等号讨论；十字相乘 $ac=2\times (-1)=-2$ 拆成 $2\times 1$ 与 $1\times (-1)$ 恰凑中项 $-1$。

方法推广：二次不等式小题：能分解先分解，求根口诀”大于两边、小于中间”，先看开口。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2012-湖南卷文-12 填-一元二次不等式解集
• 2013-广东卷理-09 填-一元二次不等式
• 2015-广东卷文-11 填-二次不等式